富山大学
2011年 医学部 第3問
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実数を成分とする行列$A=\left( \begin{array}{rr}
a & -b \\
b & c
\end{array} \right)$は$A^2-A+E=O$をみたすとする．ただし，$E$は2次の単位行列，$O$は2次の零行列を表し，$b>0$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1) $b$と$c$を，それぞれ$a$を用いて表せ．
(2) 2つのベクトル$A \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)$と$A \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array} \right)$が垂直であるとき，行列$A$を求めよ．
(3) $A$を(2)で求めた行列とする．1個のさいころを$k+1$回投げて，出た目を順に$m_1,\ m_2,\ \cdots,\ m_{k+1}$とする．このときベクトル$P_0,\ P_1,\ P_2,\ \cdots,\ P_{k+2}$を次のように定める． \begin{itemize}
$P_0=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right),\ \ P_1=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right)$
$P_{n+1}=P_n+A^{m_n}(P_n-P_{n-1}) \quad (n=1,\ 2,\ \cdots,\ k+1)$ \end{itemize} さらに，ベクトル$P_1,\ \cdots,\ P_{k+1}$がすべて異なり$P_{k+2}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right)$となる確率を$q_k$とする．このとき，$q_1,\ q_2,\ q_3$を，それぞれ求めよ．
(1) $b$と$c$を，それぞれ$a$を用いて表せ．
(2) 2つのベクトル$A \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)$と$A \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array} \right)$が垂直であるとき，行列$A$を求めよ．
(3) $A$を(2)で求めた行列とする．1個のさいころを$k+1$回投げて，出た目を順に$m_1,\ m_2,\ \cdots,\ m_{k+1}$とする．このときベクトル$P_0,\ P_1,\ P_2,\ \cdots,\ P_{k+2}$を次のように定める． \begin{itemize}
$P_0=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right),\ \ P_1=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right)$
$P_{n+1}=P_n+A^{m_n}(P_n-P_{n-1}) \quad (n=1,\ 2,\ \cdots,\ k+1)$ \end{itemize} さらに，ベクトル$P_1,\ \cdots,\ P_{k+1}$がすべて異なり$P_{k+2}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right)$となる確率を$q_k$とする．このとき，$q_1,\ q_2,\ q_3$を，それぞれ求めよ．
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