富山大学
2016年 医学部 第1問
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関数$f(x),\ g(x)$に対して，$\displaystyle h(x)=\int_0^x f(x-t)g(t) \, dt$で定義される関数$h(x)$を$(f \ast g)(x)$と書くことにする．このとき，次の問いに答えよ．
(1) $(f \ast g)(x)=(g \ast f)(x)$が成り立つことを示せ．
(2) $g(x)=e^{-x}$とし，関数$f_1(x),\ f_2(x),\ \cdots$を \[ f_1(x)=1-e^{-x},\quad f_n(x)=(f_{n-1} \ast g)(x) \quad (n=2,\ 3,\ \cdots) \] によって定義する．
(ⅰ) 整数$n$が$2$以上のとき，${f_n}^\prime(x)$を$f_n(x),\ f_{n-1}(x)$を用いて表せ．
(ⅱ) $h_n(x)=e^x {f_n}^\prime(x) \ \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$とおくとき，$3$以上の整数$n$に対して，${h_n}^\prime(x)$を$h_{n-1}(x)$を用いて表せ．
(ⅲ) $h_n(x)$を求めよ．
(1) $(f \ast g)(x)=(g \ast f)(x)$が成り立つことを示せ．
(2) $g(x)=e^{-x}$とし，関数$f_1(x),\ f_2(x),\ \cdots$を \[ f_1(x)=1-e^{-x},\quad f_n(x)=(f_{n-1} \ast g)(x) \quad (n=2,\ 3,\ \cdots) \] によって定義する．
(ⅰ) 整数$n$が$2$以上のとき，${f_n}^\prime(x)$を$f_n(x),\ f_{n-1}(x)$を用いて表せ．
(ⅱ) $h_n(x)=e^x {f_n}^\prime(x) \ \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$とおくとき，$3$以上の整数$n$に対して，${h_n}^\prime(x)$を$h_{n-1}(x)$を用いて表せ．
(ⅲ) $h_n(x)$を求めよ．
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