「表が出る確率が$p \ \ (0<p<1)$，裏が出る確率が$1-p$のコインを投げ，数直線上の点$\mathrm{A}$を次の規則（ア），（イ）にしたがって動かす」という操作を繰り返し行う．ただし，点$\mathrm{A}$は最初は原点にあるものとする．
[（ア）] 点$\mathrm{A}$が$-1,\ 0,\ 1,\ 2$のいずれかにあるときには，コインを投げて表が出れば点$\mathrm{A}$を$+2$だけ移動させ，裏が出れば点$\mathrm{A}$を$-1$だけ移動させる． [（イ）] 点$\mathrm{A}$が$-1,\ 0,\ 1,\ 2$以外にあるときには，コインを投げて表が出ても裏が出ても点$\mathrm{A}$を移動させない．
このような操作を$n$回行った後の点$\mathrm{A}$の座標を$x_n$とするとき，次の問いに答えよ．
(1) 上の操作を$3$回繰り返した後，$x_1 \neq 0$かつ$x_2 \neq 0$かつ$x_3 \neq 0$となる確率を求めよ．
(2) $k$を自然数とする．$x_{3k}=0$となる確率，$x_{3k+1}=0$となる確率，$x_{3k+2}=0$となる確率をそれぞれ求めよ．
(3) $k$を自然数とする．$x_{3k-2} \neq x_{3k-1}$かつ$x_{3k-1}=x_{3k}$となる確率を求めよ．