富山大学
2015年 薬学部 第3問
3
![次の問いに答えよ．(1)関数f(x)は区間[a,b]で連続であり，区間(a,b)で第2次導関数f^{\prime\prime}(x)をもつとする．さらに，区間(a,b)でf^{\prime\prime}(x)＜0が成り立つとする．y=g(x)を2点(a,f(a))，(b,f(b))を通る直線の方程式とするとき，区間(a,b)で常にf(x)＞g(x)であることを示せ．(2)nを2以上の自然数とするとき，j=1,2,・・・,n-1について\frac{logj+log(j+1)}{2}＜∫_j^{j+1}logxdxが成り立つことを示せ．(3)nを2以上の自然数とするとき，次の不等式が成り立つことを示せ．\sqrt{n!(n-1)!}＜n^ne^{-n+1}](./thumb/351/2519/2015_3.png)
3
次の問いに答えよ．
(1) 関数$f(x)$は区間$[a,\ b]$で連続であり，区間$(a,\ b)$で第$2$次導関数$f^{\prime\prime}(x)$をもつとする．さらに，区間$(a,\ b)$で$f^{\prime\prime}(x)<0$が成り立つとする．$y=g(x)$を$2$点$(a,\ f(a))$，$(b,\ f(b))$を通る直線の方程式とするとき，区間$(a,\ b)$で常に$f(x)>g(x)$であることを示せ．
(2) $n$を$2$以上の自然数とするとき，$j=1,\ 2,\ \cdots,\ n-1$について \[ \frac{\log j+\log (j+1)}{2}<\int_j^{j+1} \log x \, dx \] が成り立つことを示せ．
(3) $n$を$2$以上の自然数とするとき，次の不等式が成り立つことを示せ． \[ \sqrt{n!(n-1)!}<n^n e^{-n+1} \]
(1) 関数$f(x)$は区間$[a,\ b]$で連続であり，区間$(a,\ b)$で第$2$次導関数$f^{\prime\prime}(x)$をもつとする．さらに，区間$(a,\ b)$で$f^{\prime\prime}(x)<0$が成り立つとする．$y=g(x)$を$2$点$(a,\ f(a))$，$(b,\ f(b))$を通る直線の方程式とするとき，区間$(a,\ b)$で常に$f(x)>g(x)$であることを示せ．
(2) $n$を$2$以上の自然数とするとき，$j=1,\ 2,\ \cdots,\ n-1$について \[ \frac{\log j+\log (j+1)}{2}<\int_j^{j+1} \log x \, dx \] が成り立つことを示せ．
(3) $n$を$2$以上の自然数とするとき，次の不等式が成り立つことを示せ． \[ \sqrt{n!(n-1)!}<n^n e^{-n+1} \]
つぶやく
コメント（0件）
現在この問題に関するコメントはありません。
書き込むにはログインが必要です。
