平面内の2つの単位ベクトル$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$に対して \[ \overrightarrow{v} = \frac{1}{2 \sin \frac{\theta}{2}} (\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}) \] とおく．ただし，$\theta$は$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角であり，$0<\theta<\pi$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1) 内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{v}$と$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{v}$を$\theta$を用いて表せ．
(2) $\overrightarrow{x}$を，$\overrightarrow{a}$に垂直で，$\overrightarrow{x} \cdot \overrightarrow{b}>0$をみたす単位ベクトルとする．このとき$\overrightarrow{x}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{v}$を用いて表せ．
(3) $\displaystyle \theta=\frac{\pi}{6}$のとき，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{v}$の値を求めよ．