富山大学
2014年 医学部 第3問
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実数$a,\ b,\ c \ \ (b \neq 0)$に対して，次の問いに答えよ．
(1) $2$次方程式$x^2-(a+c)x+ac-b^2=0$は異なる$2$つの実数解をもつことを示せ．
(2) $(1)$の$2$つの実数解を$\alpha,\ \beta \ \ (\alpha<\beta)$とする．$x$についての恒等式 \[ (x+p)(x-\alpha)-(x+q)(x-\beta)=1 \] が成り立つとき，定数$p,\ q$を$\alpha,\ \beta$を用いて表せ．
(3) $2$次の正方行列$A=\left( \begin{array}{cc} a & b \\ b & c \end{array} \right)$と$(2)$の$\alpha,\ p$に対して，$B=(A+pE)(A-\alpha E)$とおく．このとき，$B^2=B$であることを示せ．ただし，$E$は$2$次の単位行列である．
(1) $2$次方程式$x^2-(a+c)x+ac-b^2=0$は異なる$2$つの実数解をもつことを示せ．
(2) $(1)$の$2$つの実数解を$\alpha,\ \beta \ \ (\alpha<\beta)$とする．$x$についての恒等式 \[ (x+p)(x-\alpha)-(x+q)(x-\beta)=1 \] が成り立つとき，定数$p,\ q$を$\alpha,\ \beta$を用いて表せ．
(3) $2$次の正方行列$A=\left( \begin{array}{cc} a & b \\ b & c \end{array} \right)$と$(2)$の$\alpha,\ p$に対して，$B=(A+pE)(A-\alpha E)$とおく．このとき，$B^2=B$であることを示せ．ただし，$E$は$2$次の単位行列である．
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