富山大学
2014年 薬学部 第3問
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実数を成分とする$2$次の正方行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$に対して，$T(A)=a+d$，$\Delta(A)=ad-bc$と定める．このとき，次の問いに答えよ．ただし，$E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$，$O=\left( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \right)$とする．
(1) 等式$A^2-T(A)A+\Delta(A)E=O$が成り立つこと（ハミルトン・ケーリーの定理）を示せ．
(2) 実数を成分とする$2$次の正方行列$X,\ Y$が$XY-YX=\left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right)$を満たすとし，$\alpha=T(X)$，$\beta=\Delta(X)$とおく．
(ⅰ) $X^2Y-YX^2$を$\alpha$を用いて表せ．
(ⅱ) $(X^2Y-YX^2)^2=E$，$X^4+X^2+E=O$が成り立つとき，$\alpha,\ \beta$の値を求めよ．
(1) 等式$A^2-T(A)A+\Delta(A)E=O$が成り立つこと（ハミルトン・ケーリーの定理）を示せ．
(2) 実数を成分とする$2$次の正方行列$X,\ Y$が$XY-YX=\left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right)$を満たすとし，$\alpha=T(X)$，$\beta=\Delta(X)$とおく．
(ⅰ) $X^2Y-YX^2$を$\alpha$を用いて表せ．
(ⅱ) $(X^2Y-YX^2)^2=E$，$X^4+X^2+E=O$が成り立つとき，$\alpha,\ \beta$の値を求めよ．
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