富山大学
2013年 薬学部 第2問
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$\displaystyle f(x)=\frac{3}{4}x+\frac{1}{4x^3}$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1) $x>1$のとき，$f(x)>1$となることを示せ．
(2) $x>1$のとき，関数 \[ g(x)=\frac{f(x)-1}{x-1} \] は増加関数であることを示せ．
(3) $\displaystyle \lim_{x \to 1+0}g(x)$，$\displaystyle \lim_{x \to \infty}g(x)$の値を求めよ．
(4) 数列$\{x_n\}$を漸化式 \[ x_1=2,\quad x_{n+1}=f(x_n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] で定めるとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n=1$を示せ．
(1) $x>1$のとき，$f(x)>1$となることを示せ．
(2) $x>1$のとき，関数 \[ g(x)=\frac{f(x)-1}{x-1} \] は増加関数であることを示せ．
(3) $\displaystyle \lim_{x \to 1+0}g(x)$，$\displaystyle \lim_{x \to \infty}g(x)$の値を求めよ．
(4) 数列$\{x_n\}$を漸化式 \[ x_1=2,\quad x_{n+1}=f(x_n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] で定めるとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n=1$を示せ．
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