富山大学
2013年 医学部 第2問
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定数でない微分可能な関数$f(x)$が，すべての実数$k,\ x$について
\[ \int_{k-x}^{k+x}f(t) \, dt=\frac{x}{2}\{f(k-x)+2f(k)+f(k+x)\} \]
を満たすとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1) $k$を定数とし，$g(x)=f(k+x)+f(k-x)$とおく．このとき，$g(x)$を$f(k)$，$x$，$g^\prime(x)$を用いて表せ．
(2) $x \neq 0$のとき$\displaystyle \left( \frac{g(x)}{x} \right)^\prime$を$f(k)$，$x$を用いて表せ．
(3) $g^\prime(x)$は定数関数であることを示せ．
(4) $f^\prime(k+x)=f^\prime(k-x)$であることを示せ．
(5) $f(x)$は$x$の$1$次関数であることを示せ．
(1) $k$を定数とし，$g(x)=f(k+x)+f(k-x)$とおく．このとき，$g(x)$を$f(k)$，$x$，$g^\prime(x)$を用いて表せ．
(2) $x \neq 0$のとき$\displaystyle \left( \frac{g(x)}{x} \right)^\prime$を$f(k)$，$x$を用いて表せ．
(3) $g^\prime(x)$は定数関数であることを示せ．
(4) $f^\prime(k+x)=f^\prime(k-x)$であることを示せ．
(5) $f(x)$は$x$の$1$次関数であることを示せ．
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