九州工業大学
2010年 工学部 第1問
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![行列A=(\begin{array}{cc}a-b&a\\2a&a+b\end{array})の定める移動(1次変換)(\begin{array}{c}x´\\y´\end{array})=A(\begin{array}{c}x\\y\end{array})をfとし,原点を通る2直線をℓ_1:y=m_1x,ℓ_2:y=m_2xとする(m_1<m_2).次に答えよ.(1)fにより,直線ℓ_1上の点(1,m_1)はℓ_1上の点に移り,直線ℓ_2上の点(1,m_2)はℓ_2上の点に移るとする.m_1,m_2をa,bを用いて表せ.ただし,a>0とする.(2)実数a,bが(a-2)^2+b^2=3をみたすとき,b/aのとる値の範囲を求めよ.(3)(1)で求めたm_1,m_2に対して2直線ℓ_1,ℓ_2のなす角をθとする(0<θ≦π/2).実数a,bが(a-2)^2+b^2=3をみたすとき,cosθのとる値の範囲を求めよ.](./thumb/678/3144/2010_1.png)
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行列
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
a-b & a \\
2a & a+b
\end{array} \right) \]
の定める移動(1次変換)
\[ \left( \begin{array}{c}
x^\prime \\
y^\prime
\end{array} \right) = A \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right) \]
を$f$とし,原点を通る2直線を$\ell_1:y=m_1x,\ \ell_2:y=m_2x$とする$(m_1<m_2)$.次に答えよ.
(1) $f$により,直線$\ell_1$上の点$(1,\ m_1)$は$\ell_1$上の点に移り,直線$\ell_2$上の点$(1,\ m_2)$は$\ell_2$上の点に移るとする.$m_1,\ m_2$を$a,\ b$を用いて表せ.ただし,$a>0$とする.
(2) 実数$a,\ b$が$(a-2)^2+b^2=3$をみたすとき,$\displaystyle \frac{b}{a}$のとる値の範囲を求めよ.
(3) (1)で求めた$m_1,\ m_2$に対して2直線$\ell_1,\ \ell_2$のなす角を$\theta$とする$\displaystyle \left( 0<\theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$.実数$a,\ b$が$(a-2)^2+b^2=3$をみたすとき,$\cos \theta$のとる値の範囲を求めよ.
(1) $f$により,直線$\ell_1$上の点$(1,\ m_1)$は$\ell_1$上の点に移り,直線$\ell_2$上の点$(1,\ m_2)$は$\ell_2$上の点に移るとする.$m_1,\ m_2$を$a,\ b$を用いて表せ.ただし,$a>0$とする.
(2) 実数$a,\ b$が$(a-2)^2+b^2=3$をみたすとき,$\displaystyle \frac{b}{a}$のとる値の範囲を求めよ.
(3) (1)で求めた$m_1,\ m_2$に対して2直線$\ell_1,\ \ell_2$のなす角を$\theta$とする$\displaystyle \left( 0<\theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$.実数$a,\ b$が$(a-2)^2+b^2=3$をみたすとき,$\cos \theta$のとる値の範囲を求めよ.
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