早稲田大学
2012年 政治経済学部 第3問
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$x$-$y$平面上に$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$,$\displaystyle \mathrm{A} \left( \frac{1}{\sqrt{2}},\ 0 \right)$,$\displaystyle \mathrm{B} \left( 0,\ \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$をとり,図のように,$\triangle \mathrm{OAB}$の各辺上または内部に,$\mathrm{DE} \para \mathrm{OB}$かつ$\angle \mathrm{DCE}$を直角とする二等辺三角形$\mathrm{CDE}$をとる.点$\mathrm{C}$,$\mathrm{E}$はそれぞれ$\mathrm{OB}$,$\mathrm{AB}$上の点とする.線分$\mathrm{CE}$の長さを$m \ \ (>0)$とおくとき,次の各問に答えよ.
(1) $m$の最大値を求めよ.
(2) $s,\ t$を正数とし,ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OC}}+s \overrightarrow{\mathrm{CD}}+t \overrightarrow{\mathrm{CE}}$を$\fbox{ア} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\fbox{イ} \overrightarrow{\mathrm{OB}}$と表すとき,空欄$\fbox{ア}$,$\fbox{イ}$をそれぞれ$s,\ t$および$m$の式で表せ.
(3) 等式$\overrightarrow{\mathrm{OC}}+s \overrightarrow{\mathrm{CD}}+t \overrightarrow{\mathrm{CE}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$をみたす$s$,$t$をそれぞれ$m$の式で表せ.
(4) (3)で求めた$s,\ t$を用いて,点$\mathrm{P}(x,\ y)$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$によって定める.このとき,$\displaystyle \frac{y}{x}$を$\displaystyle \frac{1}{m}$の式で表せ.
(5) (4)における点$\mathrm{P}(x,\ y)$の軌跡は$x,\ y$の方程式 \[ (x+\fbox{ウ})^2+(y-\fbox{エ})^2=\fbox{オ} \] で表される.このとき,空欄$\fbox{ウ}$,$\fbox{エ}$,$\fbox{オ}$にあてはまる数値を求めよ. \imgc{304_1_2012_2}
(1) $m$の最大値を求めよ.
(2) $s,\ t$を正数とし,ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OC}}+s \overrightarrow{\mathrm{CD}}+t \overrightarrow{\mathrm{CE}}$を$\fbox{ア} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\fbox{イ} \overrightarrow{\mathrm{OB}}$と表すとき,空欄$\fbox{ア}$,$\fbox{イ}$をそれぞれ$s,\ t$および$m$の式で表せ.
(3) 等式$\overrightarrow{\mathrm{OC}}+s \overrightarrow{\mathrm{CD}}+t \overrightarrow{\mathrm{CE}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$をみたす$s$,$t$をそれぞれ$m$の式で表せ.
(4) (3)で求めた$s,\ t$を用いて,点$\mathrm{P}(x,\ y)$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$によって定める.このとき,$\displaystyle \frac{y}{x}$を$\displaystyle \frac{1}{m}$の式で表せ.
(5) (4)における点$\mathrm{P}(x,\ y)$の軌跡は$x,\ y$の方程式 \[ (x+\fbox{ウ})^2+(y-\fbox{エ})^2=\fbox{オ} \] で表される.このとき,空欄$\fbox{ウ}$,$\fbox{エ}$,$\fbox{オ}$にあてはまる数値を求めよ. \imgc{304_1_2012_2}
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