大阪府立大学
2015年 工学域(中期) 第5問
5
![座標平面上において,原点Oを中心とする半径1の円C_0に,半径1の円C_1が外接しながらすべることなく回転する.点Aを動く円C_1の中心とし,点Pを円C_1の円周上の定点とする.最初,点Aは座標(2,0)の位置にあり,点Pは座標(1,0)の位置にある.円C_1が円C_0の周りを反時計まわりに一周し,点Aが座標(2,0)に戻ってくるとき,点Pのえがく曲線をCとする.動径OAがx軸の正の部分から角θ(0≦θ≦2π)だけ回転した位置にあるとき,点Pの座標を(x(θ),y(θ))とする.このとき,次の問いに答えよ.(1)点Pの座標(x(θ),y(θ))について,x(θ)=2cosθ-cos2θ,y(θ)=2sinθ-sin2θが成り立つことを示せ.(2)導関数\frac{d}{dθ}x(θ)を求め,x(θ)のθに関する増減表を作成せよ.ただし,凹凸については言及しなくてよい.(3)曲線Cで囲まれる図形の面積Sを求めよ.](./thumb/507/2710/2015_5.png)
5
座標平面上において,原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$C_0$に,半径$1$の円$C_1$が外接しながらすべることなく回転する.点$\mathrm{A}$を動く円$C_1$の中心とし,点$\mathrm{P}$を円$C_1$の円周上の定点とする.最初,点$\mathrm{A}$は座標$(2,\ 0)$の位置にあり,点$\mathrm{P}$は座標$(1,\ 0)$の位置にある.円$C_1$が円$C_0$の周りを反時計まわりに一周し,点$\mathrm{A}$が座標$(2,\ 0)$に戻ってくるとき,点$\mathrm{P}$のえがく曲線を$C$とする.動径$\mathrm{OA}$が$x$軸の正の部分から角$\theta \ \ (0 \leqq \theta \leqq 2\pi)$だけ回転した位置にあるとき,点$\mathrm{P}$の座標を$(x(\theta),\ y(\theta))$とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1) 点$\mathrm{P}$の座標$(x(\theta),\ y(\theta))$について, \[ x(\theta)=2 \cos \theta-\cos 2\theta,\quad y(\theta)=2 \sin \theta-\sin 2\theta \] が成り立つことを示せ.
(2) 導関数$\displaystyle \frac{d}{d\theta} x(\theta)$を求め,$x(\theta)$の$\theta$に関する増減表を作成せよ.ただし,凹凸については言及しなくてよい.
(3) 曲線$C$で囲まれる図形の面積$S$を求めよ.
(1) 点$\mathrm{P}$の座標$(x(\theta),\ y(\theta))$について, \[ x(\theta)=2 \cos \theta-\cos 2\theta,\quad y(\theta)=2 \sin \theta-\sin 2\theta \] が成り立つことを示せ.
(2) 導関数$\displaystyle \frac{d}{d\theta} x(\theta)$を求め,$x(\theta)$の$\theta$に関する増減表を作成せよ.ただし,凹凸については言及しなくてよい.
(3) 曲線$C$で囲まれる図形の面積$S$を求めよ.
コメント(0件)
現在この問題に関するコメントはありません。
書き込むにはログインが必要です。