南山大学
2012年 総合政策学部 第1問
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$\fbox{}$の中に答を入れよ.
(1) 関数$f(\theta)=\sin^2 \theta-\sqrt{3} \cos \theta+2 \ \ (0 \leqq \theta \leqq \pi)$は,$\theta=\fbox{ア}$で最大値$\fbox{イ}$をとる.
(2) 実数$x,\ y$が$2x+3y+1=0$を満たすとき,$4^x+8^y$は$x=\fbox{ウ}$で最小値$\fbox{エ}$をとる.
(3) 実数$a$に対して,$3$次方程式$9x^3-3x^2+ax-1=0$の$1$つの解が$\displaystyle \frac{1}{3}$のとき,$a=\fbox{オ}$である.また,この方程式の$\displaystyle \frac{1}{3}$以外の解を$\alpha,\ \beta$とするとき,$\displaystyle \alpha^{18}+\beta^{18}=\frac{\fbox{カ}}{3^9}$である.
(4) 平面上に,原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$C$と,点$(3,\ 0)$を通る傾き$m$の直線$\ell$がある.$\ell$と$C$が異なる$2$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$で交わるとき,$m$の範囲は$\fbox{キ}$である.また,線分$\mathrm{AB}$の長さが$\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{5}$のとき,$m=\fbox{ク}$である.
(5) $a$を$0$でない実数とする.関数$f(x)=a(x^3-3x^2+a)$の極小値が$1$であり,極大値が$7$より大きいとき,$a=\fbox{ケ}$で,その極大値は$\fbox{コ}$である.
(1) 関数$f(\theta)=\sin^2 \theta-\sqrt{3} \cos \theta+2 \ \ (0 \leqq \theta \leqq \pi)$は,$\theta=\fbox{ア}$で最大値$\fbox{イ}$をとる.
(2) 実数$x,\ y$が$2x+3y+1=0$を満たすとき,$4^x+8^y$は$x=\fbox{ウ}$で最小値$\fbox{エ}$をとる.
(3) 実数$a$に対して,$3$次方程式$9x^3-3x^2+ax-1=0$の$1$つの解が$\displaystyle \frac{1}{3}$のとき,$a=\fbox{オ}$である.また,この方程式の$\displaystyle \frac{1}{3}$以外の解を$\alpha,\ \beta$とするとき,$\displaystyle \alpha^{18}+\beta^{18}=\frac{\fbox{カ}}{3^9}$である.
(4) 平面上に,原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$C$と,点$(3,\ 0)$を通る傾き$m$の直線$\ell$がある.$\ell$と$C$が異なる$2$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$で交わるとき,$m$の範囲は$\fbox{キ}$である.また,線分$\mathrm{AB}$の長さが$\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{5}$のとき,$m=\fbox{ク}$である.
(5) $a$を$0$でない実数とする.関数$f(x)=a(x^3-3x^2+a)$の極小値が$1$であり,極大値が$7$より大きいとき,$a=\fbox{ケ}$で,その極大値は$\fbox{コ}$である.
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