熊本大学
2016年 理系 第1問
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![1辺の長さ1の正四面体OABCを考える.0<s<1/2に対しOAをs:(1-s)に内分する点をPとし,0<t<1に対しOCをt:(1-t)に内分する点をQとする.ベクトルOA=ベクトルa,OB=ベクトルb,ベクトルOC=ベクトルcとおくとき,以下の問いに答えよ.(1)ベクトルPB,ベクトルPQをそれぞれベクトルa,ベクトルb,ベクトルc,s,tを用いて表せ.(2)∠BPQ={90}°であるとき,tをsを用いて表せ.(3)(2)の条件の下で,tの最大値とそのときのsの値を求めよ.(4)(3)で求めたs,tに対して,PQ^2を求めよ.](./thumb/721/2975/2016_1.png)
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$1$辺の長さ$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$を考える.$\displaystyle 0<s<\frac{1}{2}$に対し$\mathrm{OA}$を$s:(1-s)$に内分する点を$\mathrm{P}$とし,$0<t<1$に対し$\mathrm{OC}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする.$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\mathrm{OB}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき,以下の問いに答えよ.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{PB}}$,$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ s,\ t$を用いて表せ.
(2) $\angle \mathrm{BPQ}={90}^\circ$であるとき,$t$を$s$を用いて表せ.
(3) $(2)$の条件の下で,$t$の最大値とそのときの$s$の値を求めよ.
(4) $(3)$で求めた$s,\ t$に対して,$\mathrm{PQ}^2$を求めよ.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{PB}}$,$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ s,\ t$を用いて表せ.
(2) $\angle \mathrm{BPQ}={90}^\circ$であるとき,$t$を$s$を用いて表せ.
(3) $(2)$の条件の下で,$t$の最大値とそのときの$s$の値を求めよ.
(4) $(3)$で求めた$s,\ t$に対して,$\mathrm{PQ}^2$を求めよ.
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