愛媛大学
2016年 医学部 第2問
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![f(x)=x/2,g(x)=x,h(x)=\frac{x+1}{2}とおく.x_0=1とし,2枚の硬貨を繰り返して投げ,n回目の事象によりx_nを次のように定める.x_n={\begin{array}{lll}f(x_{n-1})&&(2 枚とも表のとき )\g(x_{n-1})&&( 1枚が表,1枚が裏のとき )\phantom{\frac{[]}{[]}}\h(x_{n-1})&&( 2枚とも裏のとき )\end{array}.また,p_n,q_n,r_nをそれぞれ0<x_n≦1/3である確率,1/3<x_n≦2/3である確率,2/3<x_n≦1である確率とする.(1)すべての自然数nに対して0<x_n≦1を示せ.(2)p_1,q_1,r_1を求めよ.(3)p_n,q_n,r_nをp_{n-1},q_{n-1},r_{n-1}を用いて表せ.(4)p_n-r_nを求めよ.(5)p_nを求めよ.](./thumb/669/2872/2016_2.png)
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$\displaystyle f(x)=\frac{x}{2}$,$g(x)=x$,$\displaystyle h(x)=\frac{x+1}{2}$とおく.$x_0=1$とし,$2$枚の硬貨を繰り返して投げ,$n$回目の事象により$x_n$を次のように定める.
\[ x_n=\left\{ \begin{array}{lll}
f(x_{n-1}) & & (2 \text{枚とも表のとき}) \\
g(x_{n-1}) & & (\text{$1$枚が表,$1$枚が裏のとき}) \phantom{\frac{\fbox{}}{\fbox{}}} \\
h(x_{n-1}) & & (\text{$2$枚とも裏のとき})
\end{array} \right. \]
また,$p_n,\ q_n,\ r_n$をそれぞれ$\displaystyle 0<x_n \leqq \frac{1}{3}$である確率,$\displaystyle \frac{1}{3}<x_n \leqq \frac{2}{3}$である確率,$\displaystyle \frac{2}{3}<x_n \leqq 1$である確率とする.
(1) すべての自然数$n$に対して$0<x_n \leqq 1$を示せ.
(2) $p_1,\ q_1,\ r_1$を求めよ.
(3) $p_n,\ q_n,\ r_n$を$p_{n-1},\ q_{n-1},\ r_{n-1}$を用いて表せ.
(4) $p_n-r_n$を求めよ.
(5) $p_n$を求めよ.
(1) すべての自然数$n$に対して$0<x_n \leqq 1$を示せ.
(2) $p_1,\ q_1,\ r_1$を求めよ.
(3) $p_n,\ q_n,\ r_n$を$p_{n-1},\ q_{n-1},\ r_{n-1}$を用いて表せ.
(4) $p_n-r_n$を求めよ.
(5) $p_n$を求めよ.
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