愛媛大学
2011年 医学部 第3問
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自然数$n$を定数として,さいころを投げる次の競技を行う.この競技は,{\bf 試行}$1$と{\bf 試行}$2$からなる.競技者は,はじめに{\bf 試行}$1$を行う.
\begin{screen}
[{\bf 試行}$1$] さいころを投げ,出た目の数を$X$とする.$X$の値に応じて次の手順に従う. [$\bullet$] $X=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の場合
$X$の値を得点として競技を終了する. [$\bullet$] $X=6$の場合
もし$n=1$ならば,$7$を得点として競技を終了する.
(★) \quad もし$n \geqq 2$ならば,{\bf 試行}$2$に進む.
\end{screen} \begin{screen}
[{\bf 試行}$2$] 競技者はさいころを投げる.
(★★) \quad 出た目の数を$X$とする.
$X$の値に応じて次の手順に従う. [$\bullet$] $X=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の場合
次のように定めた$P$を得点として競技を終了する. \[ P=\left\{ \begin{array}{rl} -1 & (X=1) \\ 7 & (X=2,\ 3,\ 4) \\ 13 & (X=5) \end{array} \right. \] [$\bullet$] $X=6$の場合
もし競技開始から現時点までにさいころを投げた回数が$n$に等しいならば,$7$を得点として競技を終了する.
そうでないならば,続けてさいころを投げ,(★★)にもどる.
\end{screen} 以下の問いに答えよ.
(1) $n=1$として,{\bf 試行}$1$のみを行う.得点の期待値を求めよ.
(2) $n=4$とする.得点の期待値を求めよ.
(3) $n=30$とする.{\bf 試行}$1$を行い$X=6$になった.このとき,{\bf 試行}$1$の規則(★)を変更して,競技者は
[(a)] 得点$7$を得て競技をただちに終了するか [(b)] 終了せずに{\bf 試行}$2$に進むか
どちらか一方を選択できるとする.どちらの選択をする方が得点の期待値が大きいか.
[{\bf 試行}$1$] さいころを投げ,出た目の数を$X$とする.$X$の値に応じて次の手順に従う. [$\bullet$] $X=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の場合
$X$の値を得点として競技を終了する. [$\bullet$] $X=6$の場合
もし$n=1$ならば,$7$を得点として競技を終了する.
(★) \quad もし$n \geqq 2$ならば,{\bf 試行}$2$に進む.
\end{screen} \begin{screen}
[{\bf 試行}$2$] 競技者はさいころを投げる.
(★★) \quad 出た目の数を$X$とする.
$X$の値に応じて次の手順に従う. [$\bullet$] $X=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の場合
次のように定めた$P$を得点として競技を終了する. \[ P=\left\{ \begin{array}{rl} -1 & (X=1) \\ 7 & (X=2,\ 3,\ 4) \\ 13 & (X=5) \end{array} \right. \] [$\bullet$] $X=6$の場合
もし競技開始から現時点までにさいころを投げた回数が$n$に等しいならば,$7$を得点として競技を終了する.
そうでないならば,続けてさいころを投げ,(★★)にもどる.
\end{screen} 以下の問いに答えよ.
(1) $n=1$として,{\bf 試行}$1$のみを行う.得点の期待値を求めよ.
(2) $n=4$とする.得点の期待値を求めよ.
(3) $n=30$とする.{\bf 試行}$1$を行い$X=6$になった.このとき,{\bf 試行}$1$の規則(★)を変更して,競技者は
[(a)] 得点$7$を得て競技をただちに終了するか [(b)] 終了せずに{\bf 試行}$2$に進むか
どちらか一方を選択できるとする.どちらの選択をする方が得点の期待値が大きいか.
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