横浜国立大学
2012年 理工 第5問
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![鋭角三角形ABCの∠A,∠B,∠Cの大きさをそれぞれα,β,γで表す.点D,E,Fはそれぞれ辺CA,AB,BC上にあり,DE⊥AB,EF⊥BC,FD⊥CAを満たす.次の問いに答えよ.(1)△ABCと△DEFは相似であることを示せ.(2)BC/EF=\frac{1}{tanα}+\frac{1}{tanβ}+\frac{1}{tanγ}を示せ.(3)αが一定のとき,BC/EFを最小にするようなβ,γをαで表せ.](./thumb/306/2009/2012_5.png)
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鋭角三角形$\mathrm{ABC}$の$\angle \mathrm{A}$,$\angle \mathrm{B}$,$\angle \mathrm{C}$の大きさをそれぞれ$\alpha,\ \beta,\ \gamma$で表す.点$\mathrm{D}$,$\mathrm{E}$,$\mathrm{F}$はそれぞれ辺$\mathrm{CA}$,$\mathrm{AB}$,$\mathrm{BC}$上にあり,$\mathrm{DE} \perp \mathrm{AB},\ \mathrm{EF} \perp \mathrm{BC},\ \mathrm{FD} \perp \mathrm{CA}$を満たす.次の問いに答えよ.
(1) $\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{DEF}$は相似であることを示せ.
(2) $\displaystyle \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{EF}}= \frac{1}{\tan \alpha}+\frac{1}{\tan \beta}+\frac{1}{\tan \gamma}$を示せ.
(3) $\alpha$が一定のとき,$\displaystyle \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{EF}}$を最小にするような$\beta,\ \gamma$を$\alpha$で表せ.
(1) $\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{DEF}$は相似であることを示せ.
(2) $\displaystyle \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{EF}}= \frac{1}{\tan \alpha}+\frac{1}{\tan \beta}+\frac{1}{\tan \gamma}$を示せ.
(3) $\alpha$が一定のとき,$\displaystyle \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{EF}}$を最小にするような$\beta,\ \gamma$を$\alpha$で表せ.
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