佐賀大学
2011年 理工学部 第3問
3
![関数f(t)=∫_1^t\frac{logx}{x+t}dx(t>0)を考える.ただし,対数は自然対数とする.(1)この定積分をx=tyによって置換することにより,f(t)=logt∫_{t^{-1}}^1\frac{1}{y+1}dy+∫_{t^{-1}}^1\frac{logy}{y+1}dyを示せ.(2)d/dt∫_{t^{-1}}^1\frac{logy}{y+1}dy=-\frac{logt}{t(t+1)}を示せ.(3)導関数f^{\prime}(t)を求めよ.(4)関数f(t)の極値を求めよ.](./thumb/711/2923/2011_3.png)
3
関数
\[ f(t) = \int_1^t \frac{\log x}{x+t} \, dx \quad (t>0) \]
を考える.ただし,対数は自然対数とする.
(1) この定積分を$x=ty$によって置換することにより, \[ f(t)=\log t \int_{t^{-1}}^1 \frac{1}{y+1} \, dy+\int_{t^{-1}}^1 \frac{\log y}{y+1} \, dy \] を示せ.
(2) $\displaystyle \frac{d}{dt}\int_{t^{-1}}^1 \frac{\log y}{y+1} \, dy=-\frac{\log t}{t(t+1)}$を示せ.
(3) 導関数$f^{\,\prime}(t)$を求めよ.
(4) 関数$f(t)$の極値を求めよ.
(1) この定積分を$x=ty$によって置換することにより, \[ f(t)=\log t \int_{t^{-1}}^1 \frac{1}{y+1} \, dy+\int_{t^{-1}}^1 \frac{\log y}{y+1} \, dy \] を示せ.
(2) $\displaystyle \frac{d}{dt}\int_{t^{-1}}^1 \frac{\log y}{y+1} \, dy=-\frac{\log t}{t(t+1)}$を示せ.
(3) 導関数$f^{\,\prime}(t)$を求めよ.
(4) 関数$f(t)$の極値を求めよ.
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