産業医科大学
2011年 医学部 第2問
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原点を$\mathrm{O}$とする座標空間内の$3$点$\mathrm{A}(a,\ 0,\ 0)$,$\mathrm{B}(0,\ b,\ 0)$,$\mathrm{C}(0,\ 0,\ c)$に対し,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$の定める平面を$\pi$とおく.ただし,$a>0$,$b>0$,$c>0$とする.次の問いに答えなさい.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}+u \overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおく.点$\mathrm{P}$が平面$\pi$上にあって,$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$が平面$\pi$と垂直になるように,実数$s,\ t,\ u$の値をそれぞれ$a,\ b,\ c$を用いて表しなさい.
(2) 線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とし,点$\mathrm{Q}$は$\overrightarrow{\mathrm{CQ}}=r \overrightarrow{\mathrm{CM}}$を満たす点であるとする.ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$の大きさ$|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}|$を最小にする実数$r$の値と,そのときの$|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}|$の値を,それぞれ$a,\ b,\ c$を用いて表しなさい.
(3) $\triangle \mathrm{OAB}$,$\triangle \mathrm{OBC}$,$\triangle \mathrm{OCA}$の面積を,それぞれ$S_1,\ S_2,\ S_3$とするとき,$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S$を$S_1,\ S_2,\ S_3$を用いて表しなさい.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}+u \overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおく.点$\mathrm{P}$が平面$\pi$上にあって,$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$が平面$\pi$と垂直になるように,実数$s,\ t,\ u$の値をそれぞれ$a,\ b,\ c$を用いて表しなさい.
(2) 線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とし,点$\mathrm{Q}$は$\overrightarrow{\mathrm{CQ}}=r \overrightarrow{\mathrm{CM}}$を満たす点であるとする.ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$の大きさ$|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}|$を最小にする実数$r$の値と,そのときの$|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}|$の値を,それぞれ$a,\ b,\ c$を用いて表しなさい.
(3) $\triangle \mathrm{OAB}$,$\triangle \mathrm{OBC}$,$\triangle \mathrm{OCA}$の面積を,それぞれ$S_1,\ S_2,\ S_3$とするとき,$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S$を$S_1,\ S_2,\ S_3$を用いて表しなさい.
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