宮城教育大学
2011年 教育学部(その他) 第2問
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![四面体OABCにおいて\begin{align}&OA=√2,OB=3,OC=2,\nonumber\\&∠AOB=45°,∠BOC=60°,∠COA=45°\nonumber\end{align}である.ベクトルOA=ベクトルa,ベクトルOB=ベクトルb,ベクトルOC=ベクトルcとするとき,次の問いに答えよ.(1)辺ABの中点をD,辺BCを1:2に内分する点をEとし,線分AEと線分CDとの交点をFとするとき,ベクトルOFをベクトルa,ベクトルb,ベクトルcを用いて表せ.(2)点Fから平面OBCにおろした垂線と平面OBCとの交点をHとするとき,ベクトルOHをベクトルbとベクトルcを用いて表せ.(3)直線OHと辺BCとの交点をIとするとき,BI:ICを求めよ.](./thumb/53/125/2011_2.png)
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四面体$\mathrm{OABC}$において
\begin{align}
& \mathrm{OA}=\sqrt{2},\quad \mathrm{OB}=3,\quad \mathrm{OC}=2, \nonumber \\
& \angle \mathrm{AOB}=45^\circ,\quad \angle \mathrm{BOC}=60^\circ,\quad \angle \mathrm{COA}=45^\circ \nonumber
\end{align}
である.$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき,次の問いに答えよ.
(1) 辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{D}$,辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{E}$とし,線分$\mathrm{AE}$と線分$\mathrm{CD}$との交点を$\mathrm{F}$とするとき,$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(2) 点$\mathrm{F}$から平面$\mathrm{OBC}$におろした垂線と平面$\mathrm{OBC}$との交点を$\mathrm{H}$とするとき,$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(3) 直線$\mathrm{OH}$と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{I}$とするとき,$\mathrm{BI}:\mathrm{IC}$を求めよ.
(1) 辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{D}$,辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{E}$とし,線分$\mathrm{AE}$と線分$\mathrm{CD}$との交点を$\mathrm{F}$とするとき,$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(2) 点$\mathrm{F}$から平面$\mathrm{OBC}$におろした垂線と平面$\mathrm{OBC}$との交点を$\mathrm{H}$とするとき,$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(3) 直線$\mathrm{OH}$と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{I}$とするとき,$\mathrm{BI}:\mathrm{IC}$を求めよ.
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