鳥取大学
2013年 医（医） 第4問
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実数$t$の関数$\alpha(t),\ \beta(t)$を$\displaystyle \alpha(t)=\frac{e^t+e^{-t}}{2}$，$\displaystyle \beta(t)=\frac{e^t-e^{-t}}{2}$で定める．実数の定数$p$に対して点$\mathrm{P}(x,\ y)$の$x$座標および$y$座標を，複素数
\[ z=\frac{ip \alpha(t)+\beta(t)}{ip \beta(t)+\alpha(t)} \]
の実部および虚部でそれぞれ与える．ただし$i$は虚数単位とする．
(1) $\{\alpha(t)\}^2-\{\beta(t)\}^2=1$となることを示し，$x,\ y$を$t$の関数として表せ．
(2) 点$\mathrm{P}$の$x$座標の$t \to \infty$および$t \to -\infty$のときの極限値をそれぞれ求めよ．
(3) $p \neq 0$のとき，点$\mathrm{P}$の描く曲線を$x$と$y$の関係式で表せ．
(1) $\{\alpha(t)\}^2-\{\beta(t)\}^2=1$となることを示し，$x,\ y$を$t$の関数として表せ．
(2) 点$\mathrm{P}$の$x$座標の$t \to \infty$および$t \to -\infty$のときの極限値をそれぞれ求めよ．
(3) $p \neq 0$のとき，点$\mathrm{P}$の描く曲線を$x$と$y$の関係式で表せ．
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