東北大学
2015年 理系 第4問
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$a>0$を実数とする.$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対し,座標平面の$3$点
\[ (2n\pi,\ 0),\quad \left( \left(2n+\frac{1}{2} \right) \pi,\ \frac{1}{{\left\{ \left( 2n+\displaystyle\frac{1}{2} \right)\pi \right\}}^a} \right),\quad ((2n+1)\pi,\ 0) \]
を頂点とする三角形の面積を$A_n$とし,
\[ B_n=\int_{2n\pi}^{(2n+1)\pi} \frac{\sin x}{x^a} \, dx,\qquad C_n=\int_{2n\pi}^{(2n+1)\pi} \frac{\sin^2 x}{x^a} \, dx \]
とおく.
(1) $n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対し,次の不等式が成り立つことを示せ. \[ \frac{2}{\{(2n+1)\pi\}^a} \leqq B_n \leqq \frac{2}{(2n\pi)^a} \]
(2) 極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{A_n}{B_n}$を求めよ.
(3) 極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{A_n}{C_n}$を求めよ.
(1) $n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対し,次の不等式が成り立つことを示せ. \[ \frac{2}{\{(2n+1)\pi\}^a} \leqq B_n \leqq \frac{2}{(2n\pi)^a} \]
(2) 極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{A_n}{B_n}$を求めよ.
(3) 極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{A_n}{C_n}$を求めよ.
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