東京理科大学
2014年 基礎工 第5問
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![座標平面上の曲線y=x^2上に2点A(-1,1),B(3,9)をとり,tを実数として,点P(t,t^2)をとる.f(t)=ベクトルPA・ベクトルPBとおく.ただし,ベクトルPA・ベクトルPBは2つのベクトルベクトルPAとベクトルPBの内積を表している.さらに,t≠-1,3のとき,2つのベクトルベクトルPAとベクトルPBのなす角をθとおく.ただし,0≦θ≦{180}°とする.(1)t=0のときのcosθの値を求めよ.(2)f(t)はtの4次式となる.それを降べきの順に整理して書け.(3)f(t)はf(t)=(t+m)(t+n)(t^2+at+b)( ただし,m,n,a,bは整数 )の形に書ける.f(t)をこの形に書き表せ.(4)-1<t<3の範囲内で,θ={90}°となるときのtの値を求めよ.(5)左側からの極限\lim_{t→3-0}cosθの値を求めよ.](./thumb/269/272/2014_5.png)
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座標平面上の曲線$y=x^2$上に$2$点$\mathrm{A}(-1,\ 1)$,$\mathrm{B}(3,\ 9)$をとり,$t$を実数として,点$\mathrm{P}(t,\ t^2)$をとる.$f(t)=\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}$とおく.ただし,$\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}$は$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{PA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PB}}$の内積を表している.さらに,$t \neq -1,\ 3$のとき,$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{PA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PB}}$のなす角を$\theta$とおく.ただし,$0 \leqq \theta \leqq {180}^\circ$とする.
(1) $t=0$のときの$\cos \theta$の値を求めよ.
(2) $f(t)$は$t$の$4$次式となる.それを降べきの順に整理して書け.
(3) $f(t)$は \[ f(t)=(t+m)(t+n)(t^2+at+b) \quad (\text{ただし,$m,\ n,\ a,\ b$は整数}) \] の形に書ける.$f(t)$をこの形に書き表せ.
(4) $-1<t<3$の範囲内で,$\theta={90}^\circ$となるときの$t$の値を求めよ.
(5) 左側からの極限$\displaystyle \lim_{t \to 3-0} \cos \theta$の値を求めよ.
(1) $t=0$のときの$\cos \theta$の値を求めよ.
(2) $f(t)$は$t$の$4$次式となる.それを降べきの順に整理して書け.
(3) $f(t)$は \[ f(t)=(t+m)(t+n)(t^2+at+b) \quad (\text{ただし,$m,\ n,\ a,\ b$は整数}) \] の形に書ける.$f(t)$をこの形に書き表せ.
(4) $-1<t<3$の範囲内で,$\theta={90}^\circ$となるときの$t$の値を求めよ.
(5) 左側からの極限$\displaystyle \lim_{t \to 3-0} \cos \theta$の値を求めよ.
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