熊本大学
2014年 理系 第1問
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空間内の$1$辺の長さ$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$において,$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする.また,点$\mathrm{D}$を$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$を満たす点,点$\mathrm{E}$を$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}$を満たす点とし,点$\mathrm{P}$を$\mathrm{OA}$の中点とする.以下の問いに答えよ.
(1) $0<t<1$に対し,$\mathrm{BD}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{R}$とし,$\mathrm{CE}$を$(1-t):t$に内分する点を$\mathrm{S}$とする.また,$\mathrm{OB}$と$\mathrm{PR}$の交点を$\mathrm{M}$とし,$\mathrm{OC}$と$\mathrm{PS}$の交点を$\mathrm{N}$とする.このとき,$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$と$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$を,それぞれ$t$,$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(2) $\triangle \mathrm{OMN}$の面積を$t$を用いて表せ.
(3) $t$が$0<t<1$の範囲を動くとき,$\triangle \mathrm{OMN}$の面積の最小値を求めよ.
(1) $0<t<1$に対し,$\mathrm{BD}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{R}$とし,$\mathrm{CE}$を$(1-t):t$に内分する点を$\mathrm{S}$とする.また,$\mathrm{OB}$と$\mathrm{PR}$の交点を$\mathrm{M}$とし,$\mathrm{OC}$と$\mathrm{PS}$の交点を$\mathrm{N}$とする.このとき,$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$と$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$を,それぞれ$t$,$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(2) $\triangle \mathrm{OMN}$の面積を$t$を用いて表せ.
(3) $t$が$0<t<1$の範囲を動くとき,$\triangle \mathrm{OMN}$の面積の最小値を求めよ.
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