中部大学
2014年 工学部 第2問
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![0<x<πで定義された関数f(x)=\frac{1}{sinx}について,次の問いに答えよ.(1)f(π/3)を求めよ.(2)f´(x)とf^{\prime\prime}(x)を求めよ.また,f^{\prime\prime}(x)>0となることを示せ.これらの結果を増減表に書き,曲線y=f(x)のグラフの概形をかけ.(3)0≦t≦1に対し,0<a≦x<πを満たす任意のaとxを考えると,tf(a)+(1-t)f(x)≧f(at+(1-t)x)が成り立つことを示せ.(4)三角形ABCのそれぞれの角をA,B,Cとすると\frac{1}{sinA}+\frac{1}{sinB}+\frac{1}{sinC}≧2√3が成り立つことを証明せよ.](./thumb/435/2278/2014_2.png)
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$0<x<\pi$で定義された関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sin x}$について,次の問いに答えよ.
(1) $\displaystyle f \left( \frac{\pi}{3} \right)$を求めよ.
(2) $f^\prime(x)$と$f^{\prime\prime}(x)$を求めよ.また,$f^{\prime\prime}(x)>0$となることを示せ.これらの結果を増減表に書き,曲線$y=f(x)$のグラフの概形をかけ.
(3) $0 \leqq t \leqq 1$に対し,$0<a \leqq x<\pi$を満たす任意の$a$と$x$を考えると, \[ tf(a)+(1-t)f(x) \geqq f(at+(1-t)x) \] が成り立つことを示せ.
(4) 三角形$\mathrm{ABC}$のそれぞれの角を$A,\ B,\ C$とすると$\displaystyle \frac{1}{\sin A}+\frac{1}{\sin B}+\frac{1}{\sin C} \geqq 2 \sqrt{3}$が成り立つことを証明せよ.
(1) $\displaystyle f \left( \frac{\pi}{3} \right)$を求めよ.
(2) $f^\prime(x)$と$f^{\prime\prime}(x)$を求めよ.また,$f^{\prime\prime}(x)>0$となることを示せ.これらの結果を増減表に書き,曲線$y=f(x)$のグラフの概形をかけ.
(3) $0 \leqq t \leqq 1$に対し,$0<a \leqq x<\pi$を満たす任意の$a$と$x$を考えると, \[ tf(a)+(1-t)f(x) \geqq f(at+(1-t)x) \] が成り立つことを示せ.
(4) 三角形$\mathrm{ABC}$のそれぞれの角を$A,\ B,\ C$とすると$\displaystyle \frac{1}{\sin A}+\frac{1}{\sin B}+\frac{1}{\sin C} \geqq 2 \sqrt{3}$が成り立つことを証明せよ.
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