旭川医科大学
2014年 医学部 第4問
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一列に並んだ$3$つの部屋$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$があり,$2$頭の象がいる.$2$頭の象は毎日$1$つの部屋から隣の部屋に,次のルールに従って移動する.
$0<p<1$とし,象が部屋$\mathrm{A}$と部屋$\mathrm{B}$にいるとき,部屋$\mathrm{A}$にいる象は部屋$\mathrm{A}$に留まり,部屋$\mathrm{B}$にいる象が確率$p$で部屋$\mathrm{C}$に移る.象が部屋$\mathrm{B}$と部屋$\mathrm{C}$にいるとき,部屋$\mathrm{C}$にいる象は部屋$\mathrm{C}$に留まり,部屋$\mathrm{B}$にいる象が確率$1-p$で部屋$\mathrm{A}$に移る.象が部屋$\mathrm{A}$と部屋$\mathrm{C}$にいるとき,部屋$\mathrm{A}$にいる象が確率$p$で部屋$\mathrm{B}$に移り,移らない場合は部屋$\mathrm{C}$にいる象が部屋$\mathrm{B}$に移る.$2$頭の象が同時に同じ部屋にいることはできない.
はじめに$2$頭の象はそれぞれ部屋$\mathrm{A}$と部屋$\mathrm{B}$にいるものとし,$2n$日後に象が部屋$\mathrm{A}$にいる確率を$a_n \ \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$とおく.このとき,次の問いに答えよ.
(1) $a_1$を求めよ.
(2) $a_{n+1}$を$a_n$を用いて表せ.
(3) $\displaystyle p=\frac{2}{3}$のとき,$a_n$を求めよ.
$0<p<1$とし,象が部屋$\mathrm{A}$と部屋$\mathrm{B}$にいるとき,部屋$\mathrm{A}$にいる象は部屋$\mathrm{A}$に留まり,部屋$\mathrm{B}$にいる象が確率$p$で部屋$\mathrm{C}$に移る.象が部屋$\mathrm{B}$と部屋$\mathrm{C}$にいるとき,部屋$\mathrm{C}$にいる象は部屋$\mathrm{C}$に留まり,部屋$\mathrm{B}$にいる象が確率$1-p$で部屋$\mathrm{A}$に移る.象が部屋$\mathrm{A}$と部屋$\mathrm{C}$にいるとき,部屋$\mathrm{A}$にいる象が確率$p$で部屋$\mathrm{B}$に移り,移らない場合は部屋$\mathrm{C}$にいる象が部屋$\mathrm{B}$に移る.$2$頭の象が同時に同じ部屋にいることはできない.
はじめに$2$頭の象はそれぞれ部屋$\mathrm{A}$と部屋$\mathrm{B}$にいるものとし,$2n$日後に象が部屋$\mathrm{A}$にいる確率を$a_n \ \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$とおく.このとき,次の問いに答えよ.
(1) $a_1$を求めよ.
(2) $a_{n+1}$を$a_n$を用いて表せ.
(3) $\displaystyle p=\frac{2}{3}$のとき,$a_n$を求めよ.
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