鳥取大学
2012年 医（医） 第4問
4
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$3$以上の自然数$n$に対して
\[ S_n=\sum_{k=3}^n \frac{\log k}{k} \quad (n=3,\ 4,\ 5,\ \cdots) \]
とおいて数列$\{S_n\}$を定める．次の問いに答えよ．
(1) 関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x} \ (x>0)$の増減と極値を調べよ．
(2) $4$以上の自然数$n$に対して不等式 \[ S_n-\frac{\log 3}{3} \leqq \int_3^n \frac{\log x}{x} \, dx \leqq S_{n-1} \] が成り立つことを示せ．
(3) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{S_n}{(\log n)^2}$を求めよ．
(1) 関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x} \ (x>0)$の増減と極値を調べよ．
(2) $4$以上の自然数$n$に対して不等式 \[ S_n-\frac{\log 3}{3} \leqq \int_3^n \frac{\log x}{x} \, dx \leqq S_{n-1} \] が成り立つことを示せ．
(3) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{S_n}{(\log n)^2}$を求めよ．
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