次の問に答えよ．ただし，$\ast$については$+,\ -$の$1$つが入る．
(1) 座標平面上に$(0,\ 0)$，$(1,\ 0)$，$(1,\ 1)$，$(0,\ 1)$を頂点とする正方形$\mathrm{A}$と，その内部を通過する放物線$C_1:y=x^2$，$C_2:y=x^2+a$，$C_3:y=bx^2$がある．
(ⅰ) $C_1$上の点$(x,\ y)$と頂点$(0,\ 1)$との距離が最小になるのは$\displaystyle x=\frac{\sqrt{\fbox{ス}}}{\fbox{セ}}$のときであり，その最小値は$\displaystyle \frac{\sqrt{\fbox{ソ}}}{\fbox{タ}}$である．
(ⅱ) $C_2$が$\mathrm{A}$の面積を$2$等分するとき，$\displaystyle a=1-\left( \displaystyle\frac{\fbox{チ}}{\fbox{ツ}} \right)^{\frac{2}{3}}$である．
(ⅲ) $C_3$が$\mathrm{A}$の面積を$2$等分するとき，$\displaystyle b=\frac{\fbox{テト}}{\fbox{ナ}}$である．
(2) $p$を負でない実数とする．$2$次方程式 \[ x^2-(p^2+3)x+1+2p=0 \] の異なる$2$つの解を$\displaystyle \tan \alpha,\ \tan \beta \ \ \left( 0<\alpha<\frac{\pi}{2},\ 0<\beta<\frac{\pi}{2} \right)$とする．$p=0$のとき，$\displaystyle \alpha+\beta=\frac{\fbox{ニ}}{\fbox{ヌ}} \pi$であり，
$p>0$のとき，$\tan (\alpha+\beta)$のとり得る値の最大値は$\fbox{$\ast$ネ} \sqrt{\fbox{ノ}}$であるから，$\alpha+\beta$の最大値は$\displaystyle \frac{\fbox{ハ}}{\fbox{ヒ}} \pi$である．