東京工業大学
2015年 理系 第2問
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![四面体OABCにおいて,OA=OB=OC=BC=1,AB=AC=xとする.頂点Oから平面ABCに垂線を下ろし,平面ABCとの交点をHとする.頂点Aから平面OBCに垂線を下ろし,平面OBCとの交点をH´とする.(1)ベクトルOA=ベクトルa,ベクトルOB=ベクトルb,ベクトルOC=ベクトルcとし,ベクトルOH=pベクトルa+qベクトルb+rベクトルc,\overrightarrow{OH´}=sベクトルb+tベクトルcと表す.このとき,p,q,rおよびs,tをxの式で表せ.(2)四面体OABCの体積Vをxの式で表せ.また,xが変化するときのVの最大値を求めよ.](./thumb/185/1164/2015_2.png)
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四面体$\mathrm{OABC}$において,$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=\mathrm{BC}=1$,$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=x$とする.頂点$\mathrm{O}$から平面$\mathrm{ABC}$に垂線を下ろし,平面$\mathrm{ABC}$との交点を$\mathrm{H}$とする.頂点$\mathrm{A}$から平面$\mathrm{OBC}$に垂線を下ろし,平面$\mathrm{OBC}$との交点を$\mathrm{H}^\prime$とする.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とし,$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=p \overrightarrow{a}+q \overrightarrow{b}+r \overrightarrow{c}$,$\overrightarrow{\mathrm{OH}^\prime}=s \overrightarrow{b}+t \overrightarrow{c}$と表す.このとき,$p,\ q,\ r$および$s,\ t$を$x$の式で表せ.
(2) 四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$を$x$の式で表せ.また,$x$が変化するときの$V$の最大値を求めよ.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とし,$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=p \overrightarrow{a}+q \overrightarrow{b}+r \overrightarrow{c}$,$\overrightarrow{\mathrm{OH}^\prime}=s \overrightarrow{b}+t \overrightarrow{c}$と表す.このとき,$p,\ q,\ r$および$s,\ t$を$x$の式で表せ.
(2) 四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$を$x$の式で表せ.また,$x$が変化するときの$V$の最大値を求めよ.
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