東京工業大学
2014年 理系 第5問
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![xy平面上の曲線C:y=x^3+x^2+1を考え,C上の点(1,3)をP_0とする.k=1,2,3,・・・に対して,点P_{k-1}(x_{k-1},y_{k-1})におけるCの接線とCの交点のうちでP_{k-1}と異なる点をP_k(x_k,y_k)とする.このとき,P_{k-1}とP_kを結ぶ線分とCによって囲まれた部分の面積をS_kとする.(1)S_1を求めよ.(2)x_kをkを用いて表せ.(3)Σ_{k=1}^∞\frac{1}{S_k}を求めよ.](./thumb/185/1164/2014_5.png)
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$xy$平面上の曲線$C:y=x^3+x^2+1$を考え,$C$上の点$(1,\ 3)$を$\mathrm{P}_0$とする.$k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して,点$\mathrm{P}_{k-1}(x_{k-1},\ y_{k-1})$における$C$の接線と$C$の交点のうちで$\mathrm{P}_{k-1}$と異なる点を$\mathrm{P}_k(x_k,\ y_k)$とする.このとき,$\mathrm{P}_{k-1}$と$\mathrm{P}_k$を結ぶ線分と$C$によって囲まれた部分の面積を$S_k$とする.
(1) $S_1$を求めよ.
(2) $x_k$を$k$を用いて表せ.
(3) $\displaystyle \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{S_k}$を求めよ.
(1) $S_1$を求めよ.
(2) $x_k$を$k$を用いて表せ.
(3) $\displaystyle \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{S_k}$を求めよ.
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