慶應義塾大学
2016年 環境情報学部 第3問
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$xy$平面上を動く中心$(0,\ p)$,半径$r \ \ (0<r<p)$の円$C_1$が,放物線$C_2:y=x^2$と異なる$2$点で,直線$\ell:y=q \ \ (q>p)$と$1$点で接している(直線$\ell$は円$C_1$と連動して動くものとする).ここで$2$つの曲線が接するとは,交点における接線が一致することを意味する.このとき
\[ p=\fbox{$36$}r^2+\frac{\fbox{$37$}}{\fbox{$38$}} \]
であり,$\displaystyle r>\frac{\fbox{$39$}}{\fbox{$40$}}$を満たす.また,放物線$C_2$と直線$\ell$の交点の$x$座標は
\[ \pm \left( \fbox{$41$}r+\frac{\fbox{$42$}}{\fbox{$43$}} \right) \]
である.このとき,放物線$C_2$と直線$\ell$で囲まれた領域の面積は
\[ \frac{\fbox{$44$}}{\fbox{$45$}}r^3+\fbox{$46$}r^2+\fbox{$47$}r+\frac{\fbox{$48$}}{\fbox{$49$}} \]
である.
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