上智大学
2015年 経済(経済),総合(教育,心理) 第3問
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![aを実数とするとき,座標平面において,円C:x^2+y^2=20および円C_a:x^2+y^2+a(x+3y-10)=20を考える.(1)どのようなaの値に対しても,C_aは2点P([モ],[ヤ]),Q([ユ],[ヨ])を必ず通る.ただし,[モ]<[ユ]とする.(2)C_aの中心の座標は(\frac{[ラ]}{[リ]}a,\frac{[ル]}{[レ]}a)であり,C_aの半径をrとすると,r^2=\frac{[ロ]}{[ワ]}(a^2+[ヲ]a+[ン])である.(3)C_aの半径rが最小となるのは,a=[あ]のときである.(4)Cの周および内部の領域をD,C_aの周および内部の領域をD_aとする.a=[あ]のときDとD_aの共通部分の面積は[い]π+[う]である.(5)x座標とy座標がともに整数の点を格子点とよぶ.DとD_aの共通部分に含まれる格子点の数をn(a)で表す.(i)a=-4のとき,n(a)=[え]である.(ii)n(a)が最小値[お]をとるための必要十分条件は,a<[か]である.(iii)12≦n(a)<14となる必要十分条件は,[き]≦a<[く]である.](./thumb/220/3183/2015_3.png)
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$a$を実数とするとき,座標平面において,円$C:x^2+y^2=20$および円$C_a:x^2+y^2+a(x+3y-10)=20$を考える.
(1) どのような$a$の値に対しても,$C_a$は$2$点$\mathrm{P} \left( \fbox{モ},\ \fbox{ヤ} \right)$,$\mathrm{Q} \left( \fbox{ユ},\ \fbox{ヨ} \right)$を必ず通る.ただし,$\fbox{モ}<\fbox{ユ}$とする.
(2) $C_a$の中心の座標は$\displaystyle \left( \frac{\fbox{ラ}}{\fbox{リ}}a,\ \frac{\fbox{ル}}{\fbox{レ}}a \right)$であり,$C_a$の半径を$r$とすると,$\displaystyle r^2=\frac{\fbox{ロ}}{\fbox{ワ}}(a^2+\fbox{ヲ}a+\fbox{ン})$である.
(3) $C_a$の半径$r$が最小となるのは,$a=\fbox{あ}$のときである.
(4) $C$の周および内部の領域を$D$,$C_a$の周および内部の領域を$D_a$とする.$a=\fbox{あ}$のとき$D$と$D_a$の共通部分の面積は$\fbox{い}\pi+\fbox{う}$である.
(5) $x$座標と$y$座標がともに整数の点を格子点とよぶ.$D$と$D_a$の共通部分に含まれる格子点の数を$n(a)$で表す.
(ⅰ) $a=-4$のとき,$n(a)=\fbox{え}$である.
(ⅱ) $n(a)$が最小値$\fbox{お}$をとるための必要十分条件は,$a<\fbox{か}$である.
(ⅲ) $12 \leqq n(a)<14$となる必要十分条件は,$\fbox{き} \leqq a<\fbox{く}$である.
(1) どのような$a$の値に対しても,$C_a$は$2$点$\mathrm{P} \left( \fbox{モ},\ \fbox{ヤ} \right)$,$\mathrm{Q} \left( \fbox{ユ},\ \fbox{ヨ} \right)$を必ず通る.ただし,$\fbox{モ}<\fbox{ユ}$とする.
(2) $C_a$の中心の座標は$\displaystyle \left( \frac{\fbox{ラ}}{\fbox{リ}}a,\ \frac{\fbox{ル}}{\fbox{レ}}a \right)$であり,$C_a$の半径を$r$とすると,$\displaystyle r^2=\frac{\fbox{ロ}}{\fbox{ワ}}(a^2+\fbox{ヲ}a+\fbox{ン})$である.
(3) $C_a$の半径$r$が最小となるのは,$a=\fbox{あ}$のときである.
(4) $C$の周および内部の領域を$D$,$C_a$の周および内部の領域を$D_a$とする.$a=\fbox{あ}$のとき$D$と$D_a$の共通部分の面積は$\fbox{い}\pi+\fbox{う}$である.
(5) $x$座標と$y$座標がともに整数の点を格子点とよぶ.$D$と$D_a$の共通部分に含まれる格子点の数を$n(a)$で表す.
(ⅰ) $a=-4$のとき,$n(a)=\fbox{え}$である.
(ⅱ) $n(a)$が最小値$\fbox{お}$をとるための必要十分条件は,$a<\fbox{か}$である.
(ⅲ) $12 \leqq n(a)<14$となる必要十分条件は,$\fbox{き} \leqq a<\fbox{く}$である.
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