東京農工大学
2014年 理系 第1問
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![r,sは実数で,r>0とする.Oを原点とする座標空間に4点A(2,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),D(r,r,r)がある.さらに,点Eを,ベクトルベクトルOEがベクトルOE=ベクトルOA+s(ベクトルAB+ベクトルAC)で定まる点とする.次の問いに答えよ.(1)O,A,B,Cを通る球面の中心をFとする.ベクトルODとベクトルOFのなす角をθとするとき,cosθの値を求めよ.(2)ベクトルDE・ベクトルAB=0が成り立つとき,sをrの式で表せ.(3)(2)の条件ベクトルDE・ベクトルAB=0を満たし,さらに|ベクトルDE|=r,ベクトルDB・ベクトルOD<0を満たすようなrの値を求めよ.](./thumb/186/2349/2014_1.png)
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$r,\ s$は実数で,$r>0$とする.$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に$4$点$\mathrm{A}(2,\ 0,\ 0)$,$\mathrm{B}(0,\ 1,\ 0)$,$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 1)$,$\mathrm{D}(r,\ r,\ r)$がある.さらに,点$\mathrm{E}$を,ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$が
\[ \overrightarrow{\mathrm{OE}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+s(\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}) \]
で定まる点とする.次の問いに答えよ.
(1) $\mathrm{O}$,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$を通る球面の中心を$\mathrm{F}$とする.$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$のなす角を$\theta$とするとき,$\cos \theta$の値を求めよ.
(2) $\overrightarrow{\mathrm{DE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=0$が成り立つとき,$s$を$r$の式で表せ.
(3) $(2)$の条件$\overrightarrow{\mathrm{DE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=0$を満たし,さらに$|\overrightarrow{\mathrm{DE}}|=r$,$\overrightarrow{\mathrm{DB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OD}}<0$を満たすような$r$の値を求めよ.
(1) $\mathrm{O}$,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$を通る球面の中心を$\mathrm{F}$とする.$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$のなす角を$\theta$とするとき,$\cos \theta$の値を求めよ.
(2) $\overrightarrow{\mathrm{DE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=0$が成り立つとき,$s$を$r$の式で表せ.
(3) $(2)$の条件$\overrightarrow{\mathrm{DE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=0$を満たし,さらに$|\overrightarrow{\mathrm{DE}}|=r$,$\overrightarrow{\mathrm{DB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OD}}<0$を満たすような$r$の値を求めよ.
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