大阪大学
2010年 理系 第1問
1
![関数f(x)=2log(1+e^x)-x-log2を考える.ただし,対数は自然対数であり,eは自然対数の底とする.(1)f(x)の第2次導関数をf^{\prime\prime}(x)とする.等式logf^{\prime\prime}(x)=-f(x)が成り立つことを示せ.(2)定積分∫_0^{log2}(x-log2)e^{-f(x)}dxを求めよ.](./thumb/504/1065/2010_1.png)
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関数
\[ f(x) = 2\log(1+e^x)-x-\log 2 \]
を考える.ただし,対数は自然対数であり,$e$は自然対数の底とする.
(1) $f(x)$の第2次導関数を$f^{\,\prime\prime}(x)$とする.等式 \[ \log f^{\,\prime\prime}(x) = -f(x) \] が成り立つことを示せ.
(2) 定積分$\displaystyle \int_0^{\log 2} (x-\log 2)e^{-f(x)}\, dx$を求めよ.
(1) $f(x)$の第2次導関数を$f^{\,\prime\prime}(x)$とする.等式 \[ \log f^{\,\prime\prime}(x) = -f(x) \] が成り立つことを示せ.
(2) 定積分$\displaystyle \int_0^{\log 2} (x-\log 2)e^{-f(x)}\, dx$を求めよ.
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