東京都市大学
2014年 工（電気電子工，建築） 第2問
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次の問に答えよ．
(1) 半径$1$の円の一部を半径に沿って切り取って扇形を作り，この扇形の切り口を合わせて円錐を作る．円錐の頂点から底面に下した垂線の長さを$h$とするとき，円錐の容積を最大にする$h$の値を求めよ．
(2) 定積分$\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{(1+x^2)^\frac{3}{2}} \, dx$の値を求めよ．
(3) 定数$a$に対し，$\displaystyle b=-a^2+\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}$とおく．自然数$n$に対し \[ S_n=1+b+b^2+\cdots +b^{n-1} \] と定める．数列$\{S_n\}$が収束するような$a$の範囲を求め，そのときの極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n$を$a$の式で表せ．
(1) 半径$1$の円の一部を半径に沿って切り取って扇形を作り，この扇形の切り口を合わせて円錐を作る．円錐の頂点から底面に下した垂線の長さを$h$とするとき，円錐の容積を最大にする$h$の値を求めよ．
(2) 定積分$\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{(1+x^2)^\frac{3}{2}} \, dx$の値を求めよ．
(3) 定数$a$に対し，$\displaystyle b=-a^2+\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}$とおく．自然数$n$に対し \[ S_n=1+b+b^2+\cdots +b^{n-1} \] と定める．数列$\{S_n\}$が収束するような$a$の範囲を求め，そのときの極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n$を$a$の式で表せ．
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