東京都市大学
2014年 メディア情報，都市生活 第1問
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![次の[]を埋めよ．ただし，解答用紙には計算過程も示せ．(1)a,bを定数とする．等式\frac{3x-2}{x^2-1}=\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x+1}がxについての恒等式となるようにa,bの値を定めると，a=[ア]，b=[イ]となる．(2)さいころを2回投げ，各回に出た目をそれぞれa,bとするとき，\frac{a+bi}{1+3i}が実数になる確率は[ウ]である．ただし，iは虚数単位とする．(3)aをa≧0を満たす定数とする．2次関数y=3(x-a)^2+a^2-3a-4(-1≦x≦1)の最大値をaの式で表すと[エ]となる．また，最小値をaの式で表すと，0≦a＜1のとき[オ]，a≧1のとき[カ]となる．(4)直方体OADB-CEGFにおいて，辺OCの中点をP，辺AEを5:1に内分する点をQ，辺BFを7:1に内分する点をRとし，ベクトルOA=ベクトルa，ベクトルOB=ベクトルb，ベクトルOC=ベクトルcとすると，ベクトルOQとベクトルORはそれぞれベクトルa，ベクトルb，ベクトルcを用いてベクトルOQ=[キ]，ベクトルOR=[ク]と表される．点P，Q，Rを通る平面と辺EG，辺FGとの交点をそれぞれS，Tとすると，ベクトルOSとベクトルOTはそれぞれベクトルa，ベクトルb，ベクトルcを用いてベクトルOS=[ケ]，ベクトルOT=[コ]と表される．したがって，点Sは辺EGを1:[サ]に内分し，点Tは辺FGを1:[シ]に内分する．(5)数列{a_n},{b_n},{c_n}の一般項がそれぞれa_n=sin\frac{nπ}{6}，b_n=cos\frac{nπ}{6}，c_n=sin\frac{nπ}{6}+cos\frac{nπ}{6}(n=1,2,3,・・・)で表されるとき，a_{37}+a_{43}=[ス]，b_{191}=[セ]，c_{436}+c_{439}=[ソ]である．\mon方程式4^x-2^{x+1/2}=4がある．a=2^x(a＞0)とすると，この方程式はxを使わずにaを用いて[タ]と表すことができる．したがって，この方程式の解はx=[チ]である．\monf(x)=x^3-3x+2，g(x)=2x^2-4x+2，h(x)=3x^2-6x+3とし，関数f(x),g(x),h(x)の導関数をそれぞれf´(x),g´(x),h´(x)とする．f(x)＞g(x)が成り立つxの範囲は[ツ]であり，f(x)＞h(x)が成り立つxの範囲は[テ]である．また，f´(x)＞g´(x)が成り立つxの範囲は[ト]であり，f´(x)＞h´(x)が成り立つための条件は[ナ]である．\mon1から9までの番号をつけた9枚のカードから，同時に2枚を取り出すとき，取り出したカードの番号が1と2である確率は[ニ]であり，連続した2つの数字である確率は[ヌ]である．また，同時に3枚を取り出し，番号の小さい順に並べたとき，その番号が連続した3つの数字である確率は[ネ]であり，3つの番号の積が24である確率は[ノ]である．](./thumb/263/2246/2014_1.png)
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次の$\fbox{}$を埋めよ．ただし，解答用紙には計算過程も示せ．
(1) $a,\ b$を定数とする．等式$\displaystyle \frac{3x-2}{x^2-1}=\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x+1}$が$x$についての恒等式となるように$a,\ b$の値を定めると，$a=\fbox{ア}$，$b=\fbox{イ}$となる．
(2) さいころを$2$回投げ，各回に出た目をそれぞれ$a,\ b$とするとき，$\displaystyle \frac{a+bi}{1+3i}$が実数になる確率は$\fbox{ウ}$である．ただし，$i$は虚数単位とする．
(3) $a$を$a \geqq 0$を満たす定数とする．$2$次関数$y=3(x-a)^2+a^2-3a-4 \ \ (-1 \leqq x \leqq 1)$の最大値を$a$の式で表すと$\fbox{エ}$となる．また，最小値を$a$の式で表すと，$0 \leqq a<1$のとき$\fbox{オ}$，$a \geqq 1$のとき$\fbox{カ}$となる．
(4) 直方体$\mathrm{OADB}$-$\mathrm{CEGF}$において，辺$\mathrm{OC}$の中点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{AE}$を$5:1$に内分する点を$\mathrm{Q}$，辺$\mathrm{BF}$を$7:1$に内分する点を$\mathrm{R}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とすると，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$はそれぞれ$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\fbox{キ}$，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\fbox{ク}$と表される．点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を通る平面と辺$\mathrm{EG}$，辺$\mathrm{FG}$との交点をそれぞれ$\mathrm{S}$，$\mathrm{T}$とすると，$\overrightarrow{\mathrm{OS}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OT}}$はそれぞれ$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{OS}}=\fbox{ケ}$，$\overrightarrow{\mathrm{OT}}=\fbox{コ}$と表される．したがって，点$\mathrm{S}$は辺$\mathrm{EG}$を$1:\fbox{サ}$に内分し，点$\mathrm{T}$は辺$\mathrm{FG}$を$1:\fbox{シ}$に内分する．
(5) 数列$\{a_n\},\ \{b_n\},\ \{c_n\}$の一般項がそれぞれ$\displaystyle a_n=\sin \frac{n\pi}{6}$，$\displaystyle b_n=\cos \frac{n\pi}{6}$，$\displaystyle c_n=\sin \frac{n\pi}{6}+\cos \frac{n\pi}{6} \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で表されるとき，$a_{37}+a_{43}=\fbox{ス}$，$b_{191}=\fbox{セ}$，$c_{436}+c_{439}=\fbox{ソ}$である． 方程式$4^x-2^{x+\frac{1}{2}}=4$がある．$a=2^x \ \ (a>0)$とすると，この方程式は$x$を使わずに$a$を用いて$\fbox{タ}$と表すことができる．したがって，この方程式の解は$x=\fbox{チ}$である． $f(x)=x^3-3x+2$，$g(x)=2x^2-4x+2$，$h(x)=3x^2-6x+3$とし，関数$f(x),\ g(x),\ h(x)$の導関数をそれぞれ$f^\prime(x),\ g^\prime(x),\ h^\prime(x)$とする．$f(x)>g(x)$が成り立つ$x$の範囲は$\fbox{ツ}$であり，$f(x)>h(x)$が成り立つ$x$の範囲は$\fbox{テ}$である．また，$f^\prime(x)>g^\prime(x)$が成り立つ$x$の範囲は$\fbox{ト}$であり，$f^\prime(x)>h^\prime(x)$が成り立つための条件は$\fbox{ナ}$である． $1$から$9$までの番号をつけた$9$枚のカードから，同時に$2$枚を取り出すとき，取り出したカードの番号が$1$と$2$である確率は$\fbox{ニ}$であり，連続した$2$つの数字である確率は$\fbox{ヌ}$である．また，同時に$3$枚を取り出し，番号の小さい順に並べたとき，その番号が連続した$3$つの数字である確率は$\fbox{ネ}$であり，$3$つの番号の積が$24$である確率は$\fbox{ノ}$である．
(1) $a,\ b$を定数とする．等式$\displaystyle \frac{3x-2}{x^2-1}=\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x+1}$が$x$についての恒等式となるように$a,\ b$の値を定めると，$a=\fbox{ア}$，$b=\fbox{イ}$となる．
(2) さいころを$2$回投げ，各回に出た目をそれぞれ$a,\ b$とするとき，$\displaystyle \frac{a+bi}{1+3i}$が実数になる確率は$\fbox{ウ}$である．ただし，$i$は虚数単位とする．
(3) $a$を$a \geqq 0$を満たす定数とする．$2$次関数$y=3(x-a)^2+a^2-3a-4 \ \ (-1 \leqq x \leqq 1)$の最大値を$a$の式で表すと$\fbox{エ}$となる．また，最小値を$a$の式で表すと，$0 \leqq a<1$のとき$\fbox{オ}$，$a \geqq 1$のとき$\fbox{カ}$となる．
(4) 直方体$\mathrm{OADB}$-$\mathrm{CEGF}$において，辺$\mathrm{OC}$の中点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{AE}$を$5:1$に内分する点を$\mathrm{Q}$，辺$\mathrm{BF}$を$7:1$に内分する点を$\mathrm{R}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とすると，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$はそれぞれ$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\fbox{キ}$，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\fbox{ク}$と表される．点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を通る平面と辺$\mathrm{EG}$，辺$\mathrm{FG}$との交点をそれぞれ$\mathrm{S}$，$\mathrm{T}$とすると，$\overrightarrow{\mathrm{OS}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OT}}$はそれぞれ$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{OS}}=\fbox{ケ}$，$\overrightarrow{\mathrm{OT}}=\fbox{コ}$と表される．したがって，点$\mathrm{S}$は辺$\mathrm{EG}$を$1:\fbox{サ}$に内分し，点$\mathrm{T}$は辺$\mathrm{FG}$を$1:\fbox{シ}$に内分する．
(5) 数列$\{a_n\},\ \{b_n\},\ \{c_n\}$の一般項がそれぞれ$\displaystyle a_n=\sin \frac{n\pi}{6}$，$\displaystyle b_n=\cos \frac{n\pi}{6}$，$\displaystyle c_n=\sin \frac{n\pi}{6}+\cos \frac{n\pi}{6} \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で表されるとき，$a_{37}+a_{43}=\fbox{ス}$，$b_{191}=\fbox{セ}$，$c_{436}+c_{439}=\fbox{ソ}$である． 方程式$4^x-2^{x+\frac{1}{2}}=4$がある．$a=2^x \ \ (a>0)$とすると，この方程式は$x$を使わずに$a$を用いて$\fbox{タ}$と表すことができる．したがって，この方程式の解は$x=\fbox{チ}$である． $f(x)=x^3-3x+2$，$g(x)=2x^2-4x+2$，$h(x)=3x^2-6x+3$とし，関数$f(x),\ g(x),\ h(x)$の導関数をそれぞれ$f^\prime(x),\ g^\prime(x),\ h^\prime(x)$とする．$f(x)>g(x)$が成り立つ$x$の範囲は$\fbox{ツ}$であり，$f(x)>h(x)$が成り立つ$x$の範囲は$\fbox{テ}$である．また，$f^\prime(x)>g^\prime(x)$が成り立つ$x$の範囲は$\fbox{ト}$であり，$f^\prime(x)>h^\prime(x)$が成り立つための条件は$\fbox{ナ}$である． $1$から$9$までの番号をつけた$9$枚のカードから，同時に$2$枚を取り出すとき，取り出したカードの番号が$1$と$2$である確率は$\fbox{ニ}$であり，連続した$2$つの数字である確率は$\fbox{ヌ}$である．また，同時に$3$枚を取り出し，番号の小さい順に並べたとき，その番号が連続した$3$つの数字である確率は$\fbox{ネ}$であり，$3$つの番号の積が$24$である確率は$\fbox{ノ}$である．
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