$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2$で表される放物線$P$と，$x^2+(y-k)^2=r^2 \ \ (r>0)$で表される円$Q$がある．放物線$P$上に点$\displaystyle \mathrm{A} \left( 1,\ \frac{1}{2} \right)$をとるとき，次の問いに答えよ．
(1) 点$\mathrm{A}$における放物線$P$の接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2) 直線$\ell$が点$\mathrm{A}$で円$Q$に接するとき，$k$と$r$の値を求めよ．
(3) $(2)$で求めた$k$と$r$において，次の連立不等式が表す領域の面積を求めよ． \setstretch{2} \[ \left\{ \begin{array}{l} y \geqq \displaystyle\frac{1}{2}x^2 \\ x^2+(y-k)^2 \geqq r^2 \\ y \leqq \displaystyle\frac{1}{2} \end{array} \right. \] \setstretch{1.4}