横浜国立大学
2011年 理系 第4問
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![xy平面上の2曲線C_1:y=\frac{logx}{x}とC_2:y=ax^2は点Pを共有し,Pにおいて共通の接線をもっている.ただし,aは定数とする.次の問いに答えよ.(1)関数y=\frac{logx}{x}の増減,凹凸,変曲点を調べ,C_1の概形を描け.ただし,\lim_{x→∞}\frac{logx}{x}=0は証明なしに用いてよい.(2)Pの座標およびaの値を求めよ.(3)不定積分∫(\frac{logx}{x})^2dxを求めよ.(4)C_1,C_2およびx軸で囲まれる部分を,x軸のまわりに1回転してできる立体の体積Vを求めよ.](./thumb/306/2012/2011_4.png)
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$xy$平面上の2曲線$\displaystyle C_1 : y = \frac{\log x}{x}$と$C_2 : y = ax^2$は点Pを共有し,Pにおいて共通の接線をもっている.ただし,$a$は定数とする.次の問いに答えよ.
(1) 関数$\displaystyle y = \frac{\log x}{x}$の増減,凹凸,変曲点を調べ,$C_1$の概形を描け.ただし,$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}=0$は証明なしに用いてよい.
(2) Pの座標および$a$の値を求めよ.
(3) 不定積分$\displaystyle \int \left( \frac{\log x}{x} \right)^2 \, dx$を求めよ.
(4) $C_1,\ C_2$および$x$軸で囲まれる部分を,$x$軸のまわりに1回転してできる立体の体積$V$を求めよ.
(1) 関数$\displaystyle y = \frac{\log x}{x}$の増減,凹凸,変曲点を調べ,$C_1$の概形を描け.ただし,$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}=0$は証明なしに用いてよい.
(2) Pの座標および$a$の値を求めよ.
(3) 不定積分$\displaystyle \int \left( \frac{\log x}{x} \right)^2 \, dx$を求めよ.
(4) $C_1,\ C_2$および$x$軸で囲まれる部分を,$x$軸のまわりに1回転してできる立体の体積$V$を求めよ.
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