山形大学
2014年 理学部(数理) 第4問
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![座標平面上の1次変換fは点(1,2)を点(1/2-√3,1+\frac{√3}{2})に,点(3,4)を点(3/2-2√3,2+\frac{3√3}{2})に移すとする.Oを原点として,次の問に答えよ.(1)1次変換fを表す行列Aを求めよ.(2)点P(1,0)がfにより点Qに移るとき,∠POQを求めよ.また線分OQの長さを求めよ.(3)点Rを(2cosθ,2sinθ)で定める(0<θ≦π/2).fにより,点Rは点Sに,点Sは点Tに,点Tは点Uに,点Uは点Vに移るとする.(i)三角形ORSの面積を求めよ.(ii)点(2,0)と点R,S,T,U,Vを頂点とする六角形の面積H(θ)の最大値と,そのときのθの値を求めよ.](./thumb/72/2157/2014_4.png)
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座標平面上の$1$次変換$f$は点$(1,\ 2)$を点$\displaystyle \left( \frac{1}{2}-\sqrt{3},\ 1+\frac{\sqrt{3}}{2} \right)$に,点$(3,\ 4)$を点$\displaystyle \left( \frac{3}{2}-2 \sqrt{3},\ 2+\frac{3 \sqrt{3}}{2} \right)$に移すとする.$\mathrm{O}$を原点として,次の問に答えよ.
(1) $1$次変換$f$を表す行列$A$を求めよ.
(2) 点$\mathrm{P}(1,\ 0)$が$f$により点$\mathrm{Q}$に移るとき,$\angle \mathrm{POQ}$を求めよ.また線分$\mathrm{OQ}$の長さを求めよ.
(3) 点$\mathrm{R}$を$(2 \cos \theta,\ 2 \sin \theta)$で定める$\displaystyle \left( 0<\theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$.$f$により,点$\mathrm{R}$は点$\mathrm{S}$に,点$\mathrm{S}$は点$\mathrm{T}$に,点$\mathrm{T}$は点$\mathrm{U}$に,点$\mathrm{U}$は点$\mathrm{V}$に移るとする.
(ⅰ) 三角形$\mathrm{ORS}$の面積を求めよ.
(ⅱ) 点$(2,\ 0)$と点$\mathrm{R}$,$\mathrm{S}$,$\mathrm{T}$,$\mathrm{U}$,$\mathrm{V}$を頂点とする六角形の面積$H(\theta)$の最大値と,そのときの$\theta$の値を求めよ.
(1) $1$次変換$f$を表す行列$A$を求めよ.
(2) 点$\mathrm{P}(1,\ 0)$が$f$により点$\mathrm{Q}$に移るとき,$\angle \mathrm{POQ}$を求めよ.また線分$\mathrm{OQ}$の長さを求めよ.
(3) 点$\mathrm{R}$を$(2 \cos \theta,\ 2 \sin \theta)$で定める$\displaystyle \left( 0<\theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$.$f$により,点$\mathrm{R}$は点$\mathrm{S}$に,点$\mathrm{S}$は点$\mathrm{T}$に,点$\mathrm{T}$は点$\mathrm{U}$に,点$\mathrm{U}$は点$\mathrm{V}$に移るとする.
(ⅰ) 三角形$\mathrm{ORS}$の面積を求めよ.
(ⅱ) 点$(2,\ 0)$と点$\mathrm{R}$,$\mathrm{S}$,$\mathrm{T}$,$\mathrm{U}$,$\mathrm{V}$を頂点とする六角形の面積$H(\theta)$の最大値と,そのときの$\theta$の値を求めよ.
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