山形大学
2013年 工学部 第2問
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![△OABは,∠AOB=90°,OA=OB=1を満たす.3辺OA,AB,BOをt:(1-t)(0<t<1)に内分する点を,それぞれC,D,Eとし,ベクトルOA=ベクトルa,ベクトルOB=ベクトルbとするとき,次の問いに答えよ.(1)ベクトルOC,ベクトルOD,ベクトルOE,ベクトルCEをt,ベクトルa,ベクトルbで表せ.(2)|ベクトルOD|^2,|ベクトルCE|^2をtの式で表せ.(3)ベクトルOD⊥ベクトルCEを示せ.(4)△CDEの面積をS(t)とする.(i)S(t)=\frac{3t^2-3t+1}{2}を示せ.(ii)tが0<t<1の範囲を動くとき,S(t)の最小値を求めよ.](./thumb/72/2158/2013_2.png)
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$\triangle \mathrm{OAB}$は,$\angle \mathrm{AOB}=90^\circ$,$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=1$を満たす.$3$辺$\mathrm{OA}$,$\mathrm{AB}$,$\mathrm{BO}$を$t:(1-t) \ (0<t<1)$に内分する点を,それぞれ$\mathrm{C}$,$\mathrm{D}$,$\mathrm{E}$とし,$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき,次の問いに答えよ.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OC}}$,$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$,$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$,$\overrightarrow{\mathrm{CE}}$を$t,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ.
(2) $|\overrightarrow{\mathrm{OD}}|^2$,$|\overrightarrow{\mathrm{CE}}|^2$を$t$の式で表せ.
(3) $\overrightarrow{\mathrm{OD}} \perp \overrightarrow{\mathrm{CE}}$を示せ.
(4) $\triangle \mathrm{CDE}$の面積を$S(t)$とする.
(ⅰ) $\displaystyle S(t)=\frac{3t^2-3t+1}{2}$を示せ.
(ⅱ) $t$が$0<t<1$の範囲を動くとき,$S(t)$の最小値を求めよ.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OC}}$,$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$,$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$,$\overrightarrow{\mathrm{CE}}$を$t,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ.
(2) $|\overrightarrow{\mathrm{OD}}|^2$,$|\overrightarrow{\mathrm{CE}}|^2$を$t$の式で表せ.
(3) $\overrightarrow{\mathrm{OD}} \perp \overrightarrow{\mathrm{CE}}$を示せ.
(4) $\triangle \mathrm{CDE}$の面積を$S(t)$とする.
(ⅰ) $\displaystyle S(t)=\frac{3t^2-3t+1}{2}$を示せ.
(ⅱ) $t$が$0<t<1$の範囲を動くとき,$S(t)$の最小値を求めよ.
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