奈良県立医科大学
2012年 医学部 第4問
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整数$m$が与えられたとき,$x$に関する整数係数の$2$つの整式$f(x)$,$g(x)$が関係式
\[ f(x) \equiv g(x) \pmod m \]
を満たすとは,等式$f(x)-g(x)=mh(x)$を満たすような整数係数の整式$h(x)$が存在することである.
(1) $f(x),\ g(x),\ F(x),\ G(x)$を整数係数の整式とする.もし,ある整数$m$について関係式$f(x) \equiv g(x) \pmod m$,かつ$F(x) \equiv G(x) \pmod m$が満たされるならば,関係式$f(x)+F(x) \equiv g(x)+G(x) \pmod m$,かつ$f(x)F(x) \equiv g(x)G(x) \pmod m$が満たされることを証明せよ.
(2) 正整数$p \ \ (>1)$を素数とする.$p$より小さい任意の正整数$i$に対して二項係数$\comb{p}{i}$は$p$の倍数であることを証明せよ.
(3) 正整数$p \ \ (>1)$を素数とする.任意の正整数$n$について,関係式 \[ (1+x)^{p^n} \equiv 1+x^{p^n} \pmod p \] が満たされることを証明せよ.
(4) 正整数$p \ \ (>1)$を素数とし,$n$を$2$以上の正整数とする.$n-1$個の二項係数$\comb{n}{i} \ \ (1 \leqq i \leqq n-1)$がすべて$p$の倍数であるための必要十分条件は,整数$n$が素数$p$の正べきである(すなわち,適当な正整数$k$を用いて$n=p^k$と表せる)ことを証明せよ.
(1) $f(x),\ g(x),\ F(x),\ G(x)$を整数係数の整式とする.もし,ある整数$m$について関係式$f(x) \equiv g(x) \pmod m$,かつ$F(x) \equiv G(x) \pmod m$が満たされるならば,関係式$f(x)+F(x) \equiv g(x)+G(x) \pmod m$,かつ$f(x)F(x) \equiv g(x)G(x) \pmod m$が満たされることを証明せよ.
(2) 正整数$p \ \ (>1)$を素数とする.$p$より小さい任意の正整数$i$に対して二項係数$\comb{p}{i}$は$p$の倍数であることを証明せよ.
(3) 正整数$p \ \ (>1)$を素数とする.任意の正整数$n$について,関係式 \[ (1+x)^{p^n} \equiv 1+x^{p^n} \pmod p \] が満たされることを証明せよ.
(4) 正整数$p \ \ (>1)$を素数とし,$n$を$2$以上の正整数とする.$n-1$個の二項係数$\comb{n}{i} \ \ (1 \leqq i \leqq n-1)$がすべて$p$の倍数であるための必要十分条件は,整数$n$が素数$p$の正べきである(すなわち,適当な正整数$k$を用いて$n=p^k$と表せる)ことを証明せよ.
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