九州工業大学
2016年 情報工学部 第3問
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複素数$z_n$を
\[ z_0=0,\quad z_1=1,\quad z_{n+2}=z_{n+1}+\alpha (z_{n+1}-z_n) \quad (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots) \]
により定める.ただし,$i$を虚数単位とし,$\displaystyle \alpha=\frac{1}{2} \left( \cos \frac{\pi}{3}+i \sin \frac{\pi}{3} \right)$とする.また,複素数平面上で複素数$z_n$を表す点を$\mathrm{P}_n$とする.以下の問いに答えよ.
(1) $z_2,\ z_3,\ z_4$を求めよ.
(2) 点$\mathrm{P}_0$,$\mathrm{P}_1$,$\mathrm{P}_2$,$\mathrm{P}_3$,$\mathrm{P}_4$を図示せよ.また,線分$\mathrm{P}_0 \mathrm{P}_1$,$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$,$\mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3$,$\mathrm{P}_3 \mathrm{P}_4$の長さ,および$\angle \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_0$,$\angle \mathrm{P}_3 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_1$,$\angle \mathrm{P}_4 \mathrm{P}_3 \mathrm{P}_2$の値も図中に示せ.
(3) $z_{n+1}-z_n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を$\alpha$と$n$を用いて表せ.
(4) $z_n$の実部,虚部をそれぞれ$x_n,\ y_n$とする.このとき,$x_n,\ y_n$をそれぞれ$n$を用いて表せ.
(5) $(4)$で求めた$x_n,\ y_n$について,$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n,\ \lim_{n \to \infty}y_n$をそれぞれ求めよ.
(1) $z_2,\ z_3,\ z_4$を求めよ.
(2) 点$\mathrm{P}_0$,$\mathrm{P}_1$,$\mathrm{P}_2$,$\mathrm{P}_3$,$\mathrm{P}_4$を図示せよ.また,線分$\mathrm{P}_0 \mathrm{P}_1$,$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$,$\mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3$,$\mathrm{P}_3 \mathrm{P}_4$の長さ,および$\angle \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_0$,$\angle \mathrm{P}_3 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_1$,$\angle \mathrm{P}_4 \mathrm{P}_3 \mathrm{P}_2$の値も図中に示せ.
(3) $z_{n+1}-z_n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を$\alpha$と$n$を用いて表せ.
(4) $z_n$の実部,虚部をそれぞれ$x_n,\ y_n$とする.このとき,$x_n,\ y_n$をそれぞれ$n$を用いて表せ.
(5) $(4)$で求めた$x_n,\ y_n$について,$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n,\ \lim_{n \to \infty}y_n$をそれぞれ求めよ.
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