京都教育大学
2015年 教育学部 第6問
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区間$[0,\ 1]$を$n$等分して得た分点を
\[ 0=x_0<x_1<\cdots <x_n=1 \]
とならべる.すなわち,
\[ x_k=\frac{k}{n} \quad (k=0,\ 1,\ \cdots,\ n) \]
とおく.$f(x)=x^2+1 \ \ (0 \leqq x \leqq 1)$に対して,$4$点$(x_{k-1},\ 0)$,$(x_k,\ 0)$,$(x_k,\ f(x_k))$,$(x_{k-1},\ f(x_{k-1}))$を頂点とする台形$S_k \ \ (k=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$の$k=1$から$k=n$までの集まりを$R_n$とおく.
(1) 図形$R_4$を図示せよ.
(2) 図形$R_n$の面積を$r_n$とするとき,$\displaystyle \lim_{n \to \infty}r_n=\frac{4}{3}$であることを証明せよ.
(1) 図形$R_4$を図示せよ.
(2) 図形$R_n$の面積を$r_n$とするとき,$\displaystyle \lim_{n \to \infty}r_n=\frac{4}{3}$であることを証明せよ.
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