京都府立大学
2015年 生命環境(生命分子化学) 第2問
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![r>0とする.実数の数列{a_n}は,a_1=0,a_2=1,{a_{n+2}}^2-2a_{n+2}a_{n+1}+(1-r){a_{n+1}}^2+2ra_{n+1}a_n-r{a_n}^2=0(n=1,2,3,・・・)を満たすとする.数列{b_n}を,b_n=a_{n+1}-a_n(n=1,2,3,・・・)で定める.b_n>0(n=1,2,3,・・・)とする.Oを原点とするxy平面上の点P_n(n,a_n)(n=1,2,3,・・・)を考える.このとき,以下の問いに答えよ.(1)\frac{b_{n+1}}{b_n}をrを用いて表せ.(2)数列{a_n}の一般項を求めよ.(3)\overrightarrow{P_nP_{n+1}}の成分表示をn,rを用いて与えよ.(4)\overrightarrow{P_nP_{n+1}}と\overrightarrow{P_{n+1}P_{n+2}}のなす角はπ/2とはならないことを示せ.](./thumb/476/2693/2015_2.png)
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$r>0$とする.実数の数列$\{a_n\}$は,
$a_1=0,\quad a_2=1,$
${a_{n+2}}^2-2a_{n+2}a_{n+1}+(1-r){a_{n+1}}^2+2ra_{n+1}a_n-r{a_n}^2=0 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
を満たすとする.数列$\{b_n\}$を,
$b_n=a_{n+1}-a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
で定める.$b_n>0 \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする.$\mathrm{O}$を原点とする$xy$平面上の点
$\mathrm{P}_n(n,\ a_n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
を考える.このとき,以下の問いに答えよ.
(1) $\displaystyle \frac{b_{n+1}}{b_n}$を$r$を用いて表せ.
(2) 数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ.
(3) $\overrightarrow{\mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+1}}$の成分表示を$n,\ r$を用いて与えよ.
(4) $\overrightarrow{\mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+1}}$と$\overrightarrow{\mathrm{P}_{n+1} \mathrm{P}_{n+2}}$のなす角は$\displaystyle \frac{\pi}{2}$とはならないことを示せ.
$a_1=0,\quad a_2=1,$
${a_{n+2}}^2-2a_{n+2}a_{n+1}+(1-r){a_{n+1}}^2+2ra_{n+1}a_n-r{a_n}^2=0 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
を満たすとする.数列$\{b_n\}$を,
$b_n=a_{n+1}-a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
で定める.$b_n>0 \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする.$\mathrm{O}$を原点とする$xy$平面上の点
$\mathrm{P}_n(n,\ a_n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
を考える.このとき,以下の問いに答えよ.
(1) $\displaystyle \frac{b_{n+1}}{b_n}$を$r$を用いて表せ.
(2) 数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ.
(3) $\overrightarrow{\mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+1}}$の成分表示を$n,\ r$を用いて与えよ.
(4) $\overrightarrow{\mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+1}}$と$\overrightarrow{\mathrm{P}_{n+1} \mathrm{P}_{n+2}}$のなす角は$\displaystyle \frac{\pi}{2}$とはならないことを示せ.
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