杏林大学
2014年 医学部 第4問
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![実数xに対しf(x)=e^{3x}+e^{-3x},\qquadg(x)=e^{3x}-e^{-3x}で定義される2つの関数f(x)とg(x)およびh(x)=\frac{g(x)}{f(x)}で与えられる関数h(x)について,以下の問いに答えよ.(1)関数f(x),g(x)はd/dxf(x)=[ア]g(x),\qquadd/dxg(x)=[イ]f(x)という関係を満たす.また,関数h(x)に対してh(0)=[ウ],\lim_{x→∞}h(x)=[エ],\lim_{x→-∞}h(x)=[オカ],d/dxh(x)=\frac{[キク]}{(f(x))^2}が成り立つ.(2)x座標がa=1/3log_e2である点(a,h(a))における,曲線y=h(x)の接線をCとする.接線Cと直線y=[エ]の交点のx座標をbとすると,b-a=\frac{[ケ]}{[コサ]}となる.(3)x≧aの領域において,接線C,曲線y=h(x),直線y=[エ]および直線x=t(>b)で囲まれた図形の面積をS(t)とすると,\lim_{t→∞}S(t)=\frac{[シス]}{[セソ]}+\frac{1}{[タ]}log_e\frac{[チ]}{[ツ]}が成り立つ.](./thumb/200/481/2014_4.png)
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実数$x$に対し
\[ f(x)=e^{3x}+e^{-3x},\qquad g(x)=e^{3x}-e^{-3x} \]
で定義される$2$つの関数$f(x)$と$g(x)$および$\displaystyle h(x)=\frac{g(x)}{f(x)}$で与えられる関数$h(x)$について,以下の問いに答えよ.
(1) 関数$f(x),\ g(x)$は \[ \frac{d}{dx}f(x)=\fbox{ア} g(x),\qquad \frac{d}{dx}g(x)=\fbox{イ} f(x) \] という関係を満たす.また,関数$h(x)$に対して \[ h(0)=\fbox{ウ},\ \ \lim_{x \to \infty} h(x)=\fbox{エ},\ \ \lim_{x \to -\infty} h(x)=\fbox{オカ},\ \ \frac{d}{dx}h(x)=\frac{\fbox{キク}}{(f(x))^2} \] が成り立つ.
(2) $x$座標が$\displaystyle a=\frac{1}{3} \log_e 2$である点$(a,\ h(a))$における,曲線$y=h(x)$の接線を$C$とする.接線$C$と直線$y=\fbox{エ}$の交点の$x$座標を$b$とすると,$\displaystyle b-a=\frac{\fbox{ケ}}{\fbox{コサ}}$となる.
(3) $x \geqq a$の領域において,接線$C$,曲線$y=h(x)$,直線$y=\fbox{エ}$および直線$x=t \ \ (>b)$で囲まれた図形の面積を$S(t)$とすると, \[ \lim_{t \to \infty} S(t)=\frac{\fbox{シス}}{\fbox{セソ}}+\frac{1}{\fbox{タ}} \log_e \frac{\fbox{チ}}{\fbox{ツ}} \] が成り立つ.
(1) 関数$f(x),\ g(x)$は \[ \frac{d}{dx}f(x)=\fbox{ア} g(x),\qquad \frac{d}{dx}g(x)=\fbox{イ} f(x) \] という関係を満たす.また,関数$h(x)$に対して \[ h(0)=\fbox{ウ},\ \ \lim_{x \to \infty} h(x)=\fbox{エ},\ \ \lim_{x \to -\infty} h(x)=\fbox{オカ},\ \ \frac{d}{dx}h(x)=\frac{\fbox{キク}}{(f(x))^2} \] が成り立つ.
(2) $x$座標が$\displaystyle a=\frac{1}{3} \log_e 2$である点$(a,\ h(a))$における,曲線$y=h(x)$の接線を$C$とする.接線$C$と直線$y=\fbox{エ}$の交点の$x$座標を$b$とすると,$\displaystyle b-a=\frac{\fbox{ケ}}{\fbox{コサ}}$となる.
(3) $x \geqq a$の領域において,接線$C$,曲線$y=h(x)$,直線$y=\fbox{エ}$および直線$x=t \ \ (>b)$で囲まれた図形の面積を$S(t)$とすると, \[ \lim_{t \to \infty} S(t)=\frac{\fbox{シス}}{\fbox{セソ}}+\frac{1}{\fbox{タ}} \log_e \frac{\fbox{チ}}{\fbox{ツ}} \] が成り立つ.
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