慶應義塾大学
2015年 経済学部 第6問
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![a,b,cを実数とする.xの関数F(x)=x^3+ax^2+bx+cはx=αで極大になり,x=βで極小になるとする.曲線y=F(x)上の点B(β,F(β))における接線をℓとし,ℓとy=F(x)の共有点のうちBと異なるものを(γ,F(γ))とする.(1)xの整式F(x)-F(β)を,β,γを用いて1次式の積に因数分解された形で表せ.(2)γをα,βのみを含む式で表せ.必要ならばxの整式で表される関数p(x),q(x)とそれらの導関数に関して成り立つ公式{p(x)q(x)}´=p´(x)q(x)+p(x)q´(x)を用いてもよい.(3)f(x)=F´(x)とする.直線x=γ,x軸,および曲線y=f(x)で囲まれた図形のうちy≧0となる部分の面積Sを,α,βのみを含む式で表せ.さらに,a-b≧3/2が成り立つとき,Sの最小値を求めよ.](./thumb/202/94/2015_6.png)
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$a,\ b,\ c$を実数とする.$x$の関数
\[ F(x)=x^3+ax^2+bx+c \]
は$x=\alpha$で極大になり,$x=\beta$で極小になるとする.曲線$y=F(x)$上の点$\mathrm{B}(\beta,\ F(\beta))$における接線を$\ell$とし,$\ell$と$y=F(x)$の共有点のうち$\mathrm{B}$と異なるものを$(\gamma,\ F(\gamma))$とする.
(1) $x$の整式$F(x)-F(\beta)$を,$\beta,\ \gamma$を用いて$1$次式の積に因数分解された形で表せ.
(2) $\gamma$を$\alpha,\ \beta$のみを含む式で表せ.必要ならば$x$の整式で表される関数$p(x)$,$q(x)$とそれらの導関数に関して成り立つ公式 \[ \{p(x)q(x)\}^\prime=p^\prime(x)q(x)+p(x)q^\prime(x) \] を用いてもよい.
(3) $f(x)=F^\prime(x)$とする.直線$x=\gamma$,$x$軸,および曲線$y=f(x)$で囲まれた図形のうち$y \geqq 0$となる部分の面積$S$を,$\alpha,\ \beta$のみを含む式で表せ.さらに,$\displaystyle a-b \geqq \frac{3}{2}$が成り立つとき,$S$の最小値を求めよ.
(1) $x$の整式$F(x)-F(\beta)$を,$\beta,\ \gamma$を用いて$1$次式の積に因数分解された形で表せ.
(2) $\gamma$を$\alpha,\ \beta$のみを含む式で表せ.必要ならば$x$の整式で表される関数$p(x)$,$q(x)$とそれらの導関数に関して成り立つ公式 \[ \{p(x)q(x)\}^\prime=p^\prime(x)q(x)+p(x)q^\prime(x) \] を用いてもよい.
(3) $f(x)=F^\prime(x)$とする.直線$x=\gamma$,$x$軸,および曲線$y=f(x)$で囲まれた図形のうち$y \geqq 0$となる部分の面積$S$を,$\alpha,\ \beta$のみを含む式で表せ.さらに,$\displaystyle a-b \geqq \frac{3}{2}$が成り立つとき,$S$の最小値を求めよ.
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