慶應義塾大学
2012年 経済学部 第4問
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![tを実数の定数として,xの3次関数f(x)=1/3x^3-2^tx^2+(4^t-4^{-t})xを考える.f(x)はx=αにおいて極大値を,x=βにおいて極小値をとるとする.(1)α,βをtのなるべく簡単な式で表せ.(2)α,βがαβ=1を満たすときt=1/2{log_2([(a)]+\sqrt{[(b)]})-[(c)]}である.(a),(b),(c)にあてはまる1桁の自然数を求めよ.(3)α,βがβ-α≧12を満たすときのtの値の範囲はt≦-[(d)]log_2[(e)]-1である.(d),(e)にあてはまる1桁の自然数を求めよ.](./thumb/202/94/2012_4.png)
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$t$を実数の定数として,$x$の$3$次関数
\[ f(x) = \frac{1}{3}x^3-2^tx^2+(4^t-4^{-t})x \]
を考える.$f(x)$は$x=\alpha$において極大値を,$x=\beta$において極小値をとるとする.
(1) $\alpha,\ \beta$を$t$のなるべく簡単な式で表せ.
(2) $\alpha,\ \beta$が$\alpha\beta=1$を満たすとき \[ t= \frac{1}{2} \left\{ \log_2 \left(\fbox{(a)}+\sqrt{\fbox{(b)}}\right)-\fbox{(c)} \right\} \] である.(a),\ (b),\ (c)にあてはまる$1$桁の自然数を求めよ.
(3) $\alpha,\ \beta$が$\beta-\alpha \geqq 12$を満たすときの$t$の値の範囲は \[ t \leqq - \fbox{(d)} \log_2 \fbox{(e)} -1 \] である.(d),\ (e)にあてはまる$1$桁の自然数を求めよ.
(1) $\alpha,\ \beta$を$t$のなるべく簡単な式で表せ.
(2) $\alpha,\ \beta$が$\alpha\beta=1$を満たすとき \[ t= \frac{1}{2} \left\{ \log_2 \left(\fbox{(a)}+\sqrt{\fbox{(b)}}\right)-\fbox{(c)} \right\} \] である.(a),\ (b),\ (c)にあてはまる$1$桁の自然数を求めよ.
(3) $\alpha,\ \beta$が$\beta-\alpha \geqq 12$を満たすときの$t$の値の範囲は \[ t \leqq - \fbox{(d)} \log_2 \fbox{(e)} -1 \] である.(d),\ (e)にあてはまる$1$桁の自然数を求めよ.
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