上智大学
2011年 経済(経済) 第3問
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$xyz$空間内の正四面体$\mathrm{ABCD}$を考える.頂点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$,$\mathrm{D}$はすべて原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の球面$S$上にある.$\mathrm{A}$の座標は$(0,\ 0,\ 1)$であり,$\mathrm{B}$の$x$座標は正,$y$座標は$0$である.また,$\mathrm{C}$の$y$座標は$\mathrm{D}$の$y$座標より大きい.
(1) $\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$,$\mathrm{D}$の$z$座標は$\displaystyle \frac{\fbox{ニ}}{\fbox{ヌ}}$である.
(2) $\mathrm{C}$の$x$座標は$\displaystyle \frac{\fbox{ネ}}{\fbox{ノ}} \sqrt{\fbox{ハ}}$である.
(3) $\mathrm{O}$を端点とし$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を通る半直線が$S$と交わる点を$\mathrm{P}$とする.線分$\mathrm{AP}$の長さは$\displaystyle \frac{\fbox{ヒ}}{\fbox{フ}} \sqrt{\fbox{ヘ}}$,ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$とベクトル$\overrightarrow{\mathrm{BP}}$の内積は$\fbox{ホ}$である.
以後,四面体$\mathrm{PABC}$を$V_\mathrm{p}$で表す.
(4) $\triangle \mathrm{APB}$の面積は$\displaystyle \frac{\fbox{マ}}{\fbox{ミ}}$である.
(5) $(3)$で$\triangle \mathrm{ABC}$に対して点$\mathrm{P}$および四面体$V_\mathrm{p}$を定めたときと同様に,$\triangle \mathrm{ACD}$,$\triangle \mathrm{ABD}$,$\triangle \mathrm{BCD}$に対してそれぞれ点$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$,$\mathrm{T}$および四面体$V_\mathrm{Q}$,$V_\mathrm{R}$,$V_\mathrm{T}$を定める.四面体$\mathrm{ABCD}$と$V_\mathrm{P}$,$V_\mathrm{Q}$,$V_\mathrm{R}$,$V_\mathrm{T}$をあわせた立体を$V$とすると,$V$の表面積は$\fbox{ム}$であり,$V$の体積は$\displaystyle \frac{\fbox{メ}}{\fbox{モ}} \sqrt{\fbox{ヤ}}$である.
(1) $\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$,$\mathrm{D}$の$z$座標は$\displaystyle \frac{\fbox{ニ}}{\fbox{ヌ}}$である.
(2) $\mathrm{C}$の$x$座標は$\displaystyle \frac{\fbox{ネ}}{\fbox{ノ}} \sqrt{\fbox{ハ}}$である.
(3) $\mathrm{O}$を端点とし$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を通る半直線が$S$と交わる点を$\mathrm{P}$とする.線分$\mathrm{AP}$の長さは$\displaystyle \frac{\fbox{ヒ}}{\fbox{フ}} \sqrt{\fbox{ヘ}}$,ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$とベクトル$\overrightarrow{\mathrm{BP}}$の内積は$\fbox{ホ}$である.
以後,四面体$\mathrm{PABC}$を$V_\mathrm{p}$で表す.
(4) $\triangle \mathrm{APB}$の面積は$\displaystyle \frac{\fbox{マ}}{\fbox{ミ}}$である.
(5) $(3)$で$\triangle \mathrm{ABC}$に対して点$\mathrm{P}$および四面体$V_\mathrm{p}$を定めたときと同様に,$\triangle \mathrm{ACD}$,$\triangle \mathrm{ABD}$,$\triangle \mathrm{BCD}$に対してそれぞれ点$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$,$\mathrm{T}$および四面体$V_\mathrm{Q}$,$V_\mathrm{R}$,$V_\mathrm{T}$を定める.四面体$\mathrm{ABCD}$と$V_\mathrm{P}$,$V_\mathrm{Q}$,$V_\mathrm{R}$,$V_\mathrm{T}$をあわせた立体を$V$とすると,$V$の表面積は$\fbox{ム}$であり,$V$の体積は$\displaystyle \frac{\fbox{メ}}{\fbox{モ}} \sqrt{\fbox{ヤ}}$である.
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