弘前大学
2014年 文系 第2問
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![1辺の長さが1の正四面体ABCDに対し,辺ABの中点をE,辺ACの中点をF,辺BDをt:(1-t)の比に内分する点をG,辺CDをu:(1-u)の比に内分する点をHとする.ただし,0<t<1,0<u<1とする.次の問いに答えよ.(1)4点E,F,G,Hが同一平面上にあるならば,t=uが成り立つことを示せ.(2)t=uのとき,EF^2+FH^2+HG^2+GE^2の値の範囲を求めよ.](./thumb/37/2044/2014_2.png)
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$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{ABCD}$に対し,辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{E}$,辺$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{F}$,辺$\mathrm{BD}$を$t:(1-t)$の比に内分する点を$\mathrm{G}$,辺$\mathrm{CD}$を$u:(1-u)$の比に内分する点を$\mathrm{H}$とする.ただし,$0<t<1$,$0<u<1$とする.次の問いに答えよ.
(1) $4$点$\mathrm{E}$,$\mathrm{F}$,$\mathrm{G}$,$\mathrm{H}$が同一平面上にあるならば,$t=u$が成り立つことを示せ.
(2) $t=u$のとき,$\mathrm{EF}^2+\mathrm{FH}^2+\mathrm{HG}^2+\mathrm{GE}^2$の値の範囲を求めよ.
(1) $4$点$\mathrm{E}$,$\mathrm{F}$,$\mathrm{G}$,$\mathrm{H}$が同一平面上にあるならば,$t=u$が成り立つことを示せ.
(2) $t=u$のとき,$\mathrm{EF}^2+\mathrm{FH}^2+\mathrm{HG}^2+\mathrm{GE}^2$の値の範囲を求めよ.
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