同志社大学
2016年 文化情報・生命医科・スポーツ 第4問
4
4
数列$\{a_n\}$を
\[ a_1=5,\quad a_{n+1}=\frac{a_n}{2}+\frac{6}{\sqrt{a_n}} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定める.$\displaystyle f(x)=\frac{x}{2}+\frac{6}{\sqrt{x}} \ \ (x>0)$として,次の問いに答えよ.
(1) 閉区間$4 \leqq x \leqq 9$において,$f(x)$の最大値と最小値,導関数$f^\prime(x)$の最大値と最小値をそれぞれ求めよ.
(2) $4<a_n<9$を数学的帰納法を用いて示せ.
(3) $c=f(c)$を満たす正の実数$c$を求めよ.
(4) 上の$(3)$で決定した$c$に対して,$\displaystyle 0<c-a_{n+1}<\frac{c-a_n}{2} \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を示せ.
(5) 極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ.
(1) 閉区間$4 \leqq x \leqq 9$において,$f(x)$の最大値と最小値,導関数$f^\prime(x)$の最大値と最小値をそれぞれ求めよ.
(2) $4<a_n<9$を数学的帰納法を用いて示せ.
(3) $c=f(c)$を満たす正の実数$c$を求めよ.
(4) 上の$(3)$で決定した$c$に対して,$\displaystyle 0<c-a_{n+1}<\frac{c-a_n}{2} \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を示せ.
(5) 極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ.
コメント(0件)
現在この問題に関するコメントはありません。
書き込むにはログインが必要です。